Maclaurin-serien og utvidelse av noen funksjoner

2025 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2025-01-23 12:27

Studenter av høyere matematikk bør være klar over at summen av noen potensserier som tilhører konvergensintervallet til den gitte rekken viser seg å være en kontinuerlig og ubegrenset antall ganger differensiert funksjon. Spørsmålet oppstår: er det mulig å påstå at en gitt vilkårlig funksjon f(x) er summen av noen potensrekker? Det vil si, under hvilke forhold kan funksjonen f(x) representeres av en potensserie? Viktigheten av dette spørsmålet ligger i det faktum at det er mulig å tilnærmet erstatte funksjonen f(x) med summen av de første leddene i potensserien, det vil si med et polynom. En slik erstatning av en funksjon med et ganske enkelt uttrykk - et polynom - er også praktisk når man løser noen problemer med matematisk analyse, nemlig: når man løser integraler, når man beregner differensialligninger osv.

Det er bevist at for noen funksjon f(х) hvor deriverte opp til (n+1)te orden, inkludert den siste, kan beregnes i nabolaget (α _{- R; x}0 _{+ R) av et punkt x=α formelen er gyldig:}

Denne formelen er oppk alt etter den berømte vitenskapsmannen Brook Taylor. Serien som er hentet fra den forrige heter Maclaurin-serien:

Regelen som gjør det mulig å utvide i en Maclaurin-serie:

1. Bestem derivater av den første, andre, tredje… ordren.
2. Regn ut hva de deriverte ved x=0 er lik.
3. Ta opp Maclaurin-serien for denne funksjonen, og bestem deretter intervallet for dens konvergens.
4. Bestem intervallet (-R;R) der resten av Maclaurin-formelen

R (x) -> 0 for n -> uendelig. Hvis en finnes, må funksjonen f(x) i den falle sammen med summen av Maclaurin-serien.

Vurder nå Maclaurin-serien for individuelle funksjoner.

1. Så den første vil være f(x)=e^x. Selvfølgelig, i henhold til funksjonene, har en slik funksjon derivater av forskjellige rekkefølger, og f^(k)(x)=e^x, der k er lik alle naturlige tall. La oss erstatte x=0. Vi får f^(k)(0)=e⁰=1, k=1, 2… ^{vil se slik ut:}

2. Maclaurin-serien for funksjonen f(x)=sin x. Avklar umiddelbart at funksjonen for alle ukjente vil ha derivater, foruten f^'(x)=cos x=sin(x+n/2), f ^{'' (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…, f}(k)^{(x)=sin(x+k n/2), hvor k er lik et hvilket som helst naturlig tall. Det vil si at etter å ha gjort enkle utregninger kan vi komme til at serien for f(x)=sin x vil se slik ut:}

3. La oss nå prøve å vurdere funksjonen f(x)=cos x. Hun er for alt det ukjentehar derivater av vilkårlig rekkefølge, og |f^(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… Igjen, etter å ha gjort noen beregninger, får vi at serien for f(x)=cos x vil se slik ut:

Så, vi har listet opp de viktigste funksjonene som kan utvides i Maclaurin-serien, men de er supplert med Taylor-serien for noen funksjoner. Nå skal vi liste dem opp. Det er også verdt å merke seg at Taylor- og Maclaurin-serier er en viktig del av praksisen med å løse serier i høyere matematikk. Altså, Taylor-serien.

1. Den første vil være en serie for f-ii f(x)=ln(1+x). Som i de foregående eksemplene, gitt oss f (x)=ln (1 + x), kan vi legge til en serie ved å bruke den generelle formen til Maclaurin-serien. Men for denne funksjonen kan Maclaurin-serien fås mye enklere. Etter å ha integrert en viss geometrisk serie, får vi en serie for f(x)=ln(1+x) av denne prøven:

2. Og den andre, som vil være endelig i artikkelen vår, vil være en serie for f (x) u003d arctg x. For x som tilhører intervallet [-1;1], er utvidelsen gyldig:

Det var det. Denne artikkelen undersøkte de mest brukte Taylor- og Maclaurin-seriene i høyere matematikk, spesielt ved økonomiske og tekniske universiteter.