En av de viktigste vitenskapene, som kan sees i disipliner som kjemi, fysikk og til og med biologi, er matematikk. Studiet av denne vitenskapen lar deg utvikle noen mentale egenskaper, forbedre abstrakt tenkning og konsentrasjonsevnen. Et av temaene som fortjener spesiell oppmerksomhet i kurset "Matematikk" er addisjon og subtraksjon av brøker. Mange studenter synes det er vanskelig å studere. Kanskje artikkelen vår vil hjelpe deg med å forstå dette emnet bedre.
Hvordan trekke fra brøker med de samme nevnerne
Brøker er de samme tallene som du kan utføre forskjellige handlinger med. Deres forskjell fra heltall ligger i nærværet av en nevner. Det er derfor når du utfører handlinger med brøker, må du studere noen av funksjonene og reglene deres. Det enkleste tilfellet er subtraksjon av vanlige brøker, hvis nevnere er representert som samme tall. Det vil ikke være vanskelig å utføre denne handlingen hvis du kjenner en enkel regel:
For å subtrahere den andre fra en brøk, er det nødvendig å trekke fra telleren til den subtraherte brøken fra telleren til den reduserte brøken. Dette ervi skriver tallet inn i telleren av differansen, og lar nevneren være den samme: k/m – b/m=(k-b)/m
Eksempler på å trekke fra brøker der nevnerne er de samme
La oss se hvordan det ser ut på et eksempel:
7/19 - 3/19=(7 - 3)/19=4/19.
Fra telleren til den reduserte brøken "7" trekker vi telleren til den subtraherte brøken "3", får vi "4". Vi skriver dette tallet i telleren til svaret, og setter i nevneren det samme tallet som var i nevnerne til første og andre brøk - “19”.
Bildet nedenfor viser noen flere lignende eksempler.
La oss se på et mer komplisert eksempel der brøker med samme nevner trekkes fra:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47=(29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47=9/47.
Fra telleren til den reduserte brøken "29" ved å trekke etter tur fra tellerne for alle påfølgende brøker - "3", "8", "2", "7". Som et resultat får vi resultatet "9", som vi skriver i telleren til svaret, og i nevneren skriver vi tallet som er i nevnerne til alle disse brøkene - "47".
Legge til brøker med samme nevner
Addisjon og subtraksjon av vanlige brøker utføres etter samme prinsipp.
For å legge til brøker med de samme nevnerne, må du legge til tellerne. Det resulterende tallet er telleren av summen, og nevneren forblir den samme: k/m + b/m=(k + b)/m
La oss se hvordan det ser ut på et eksempel:
1/4 + 2/4=3/4.
Ktelleren for det første leddet i brøken - "1" - legg til telleren for det andre leddet i brøken - "2". Resultatet - "3" - skrives i telleren for beløpet, og nevneren er den samme som er tilstede i brøkene - "4".
Brøker med forskjellige nevnere og deres subtraksjon
Handlingen med brøker som har samme nevner, har vi allerede vurdert. Som du kan se, er det ganske enkelt å kjenne til enkle regler, å løse slike eksempler. Men hva om du trenger å utføre en handling med brøker som har forskjellige nevnere? Mange videregående elever blir forvirret av slike eksempler. Men selv her, hvis du kjenner prinsippet for løsningen, vil eksemplene ikke lenger være vanskelige for deg. Det er også en regel her, uten hvilken løsning av slike brøker rett og slett er umulig.
-
For å trekke fra brøker med forskjellige nevnere, må du bringe dem til den samme minste nevneren.
subtraksjon av brøker med ulike nevnere
Vi snakker mer om hvordan du gjør dette.
Eiendom av en brøkdel
For å redusere flere brøker til samme nevner, må du bruke hovedegenskapen til brøken i løsningen: etter å ha delt eller multiplisert telleren og nevneren med samme tall, får du en brøk lik gitt en.
Så, for eksempel, brøken 2/3 kan ha slike nevnere som "6", "9", "12" osv., det vil si at den kan se ut som et hvilket som helst tall som er et multiplum av " 3". Etter at vi multipliserer telleren og nevneren med"2", du får brøken 4/6. Etter at vi har multiplisert telleren og nevneren til den opprinnelige brøken med "3", får vi 6/9, og hvis vi utfører en lignende handling med tallet "4", får vi 8/12. I en ligning kan dette skrives som følger:
2/3=4/6=6/9=8/12…
Hvordan bringe flere brøker til samme nevner
La oss vurdere hvordan vi reduserer flere brøker til samme nevner. Ta for eksempel brøkene vist på bildet nedenfor. Først må du bestemme hvilket tall som kan bli nevneren for dem alle. For å gjøre det enklere, la oss faktorisere de tilgjengelige nevnerne.
Nevneren til brøken 1/2 og brøken 2/3 kan ikke faktoriseres. Nevneren til 7/9 har to faktorer 7/9=7/(3 x 3), nevneren til brøken 5/6=5/(2 x 3). Nå må du bestemme hvilke faktorer som vil være de minste for alle disse fire brøkene. Siden den første brøken har tallet «2» i nevneren, betyr det at den må være tilstede i alle nevnerne, i brøken 7/9 er det to trippel, som betyr at de også må være tilstede i nevneren. Gitt ovenstående bestemmer vi at nevneren består av tre faktorer: 3, 2, 3 og er lik 3 x 2 x 3=18.
Tenk på den første brøken - 1/2. Dens nevner inneholder "2", men det er ikke en eneste "3", men det skal være to. For å gjøre dette multipliserer vi nevneren med to trippel, men i henhold til egenskapen til en brøk må vi multiplisere telleren med to trippel:
1/2=(1 x 3 x 3) / (2) x 3 x 3)=9 /18.
På samme måte utfører vi handlinger med de resterendebrøker.
-
2/3 – nevneren mangler én tre og én to:
2/3=(2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2)=12/18.
-
7/9 eller 7/(3 x 3) - nevneren mangler en nevner:
7/9=(7 x 2)/(9 x 2)=14/18.
-
5/6 eller 5/(2 x 3) - nevneren mangler en trippel:
5/6=(5 x 3)/(6 x 3)=15/18.
Til sammen ser det slik ut:
Hvordan trekke fra og legge til brøker med forskjellige nevnere
Som nevnt ovenfor, for å legge til eller subtrahere brøker med forskjellige nevnere, må de bringes til samme nevner, og deretter bruke reglene for å subtrahere brøker med samme nevner, som allerede er beskrevet.
La oss ta dette som et eksempel: 4/18 – 3/15.
Finn multipler av 18 og 15:
- Tallet 18 er 3 x 2 x 3.
- Tallet 15 består av 5 x 3.
- Felles multiplum vil bestå av følgende faktorer 5 x 3 x 3 x 2=90.
Etter at nevneren er funnet, er det nødvendig å beregne multiplikatoren som vil være forskjellig for hver brøk, det vil si tallet som det vil være nødvendig å multiplisere ikke bare nevneren, men også telleren med. For å gjøre dette deler vi tallet vi fant (felles multiplum) med nevneren til brøken som tilleggsfaktorer må bestemmes for.
- 90 delt på 15. Det resulterende tallet "6" vil være en multiplikator for 3/15.
- 90 delt på 18. Det resulterende tallet "5" vil være en multiplikator for 4/18.
Neste trinn i vår beslutning erbringer hver brøk til nevneren "90".
Hvordan det gjøres, har vi allerede sagt. Tenk på hvordan dette er skrevet i eksemplet:
(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6)=20/90 - 18/90=2/90=1/45.
Hvis brøker med små tall, kan du bestemme fellesnevneren, som i eksemplet vist på bildet nedenfor.
På samme måte utføres addisjon av brøker med forskjellige nevnere.
Subtraksjon og addisjon av brøker med heltallsdeler
Subtraksjon av brøker og deres addisjon har vi allerede analysert i detalj. Men hvordan trekke fra hvis brøken har en heltallsdel? Igjen, la oss bruke noen få regler:
- Oversett alle brøker med en heltallsdel til uekte. Med enkle ord, fjern hele delen. For å gjøre dette multipliseres tallet på heltallsdelen med nevneren til brøken, det resulterende produktet legges til telleren. Tallet som vil bli oppnådd etter disse handlingene er telleren for en uekte brøk. Nevneren forblir den samme.
- Hvis brøker har forskjellige nevnere, bør de reduseres til det samme.
- Legg til eller trekk fra med de samme nevnerne.
- Når du mottar en uekte brøk, velg heltallsdelen.
Det er en annen måte du kan legge til og trekke fra brøker med heltallsdeler på. For dette utføres handlinger separat med heltallsdeler, og separat med brøker, og resultatene registreres sammen.
Eksemplet ovenfor består av brøker som har samme nevner. I tilfelle når nevnerne er forskjellige, må de reduseres til det samme, og deretter følge trinnene som vist i eksempelet.
Trtrekke brøker fra heltall
En annen type operasjoner med brøker er tilfellet når en brøk må trekkes fra et naturlig tall. Ved første øyekast virker et slikt eksempel vanskelig å løse. Men alt er ganske enkelt her. For å løse det er det nødvendig å konvertere et heltall til en brøk, og med en slik nevner, som er i brøken som skal trekkes fra. Deretter utfører vi en subtraksjon som ligner på subtraksjon med de samme nevnerne. I et eksempel ser det slik ut:
7 - 4/9=(7 x 9)/9 - 4/9=53/9 - 4/9=49/9.
Subtraksjonen av brøker presentert i denne artikkelen (karakter 6) er grunnlaget for å løse mer komplekse eksempler som vurderes i påfølgende klasser. Kunnskap om dette emnet brukes senere til å løse funksjoner, deriverte og så videre. Derfor er det svært viktig å forstå og forstå operasjonene med brøker omt alt ovenfor.
