Ideell væske og ligninger som beskriver bevegelsen

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2023-12-17 05:37

Seksjonen av fysikk som studerer funksjonene ved flytende mediers bevegelse kalles hydrodynamikk. Et av de viktigste matematiske uttrykkene for hydrodynamikk er Bernoulli-ligningen for en ideell væske. Artikkelen er viet dette emnet.

Hva er en ideell væske?

Mange vet at et flytende stoff er en slik aggregert materietilstand som beholder volum under konstante ytre forhold, men endrer form ved den minste innvirkning på den. En ideell væske er et flytende stoff som ikke har noen viskositet og er inkompressibelt. Dette er de to hovedegenskapene som skiller den fra ekte væsker.

Merk at nesten alle ekte væsker kan betraktes som inkompressible, fordi en liten endring i volumet krever et enormt eksternt trykk. For eksempel, hvis du lager et trykk på 5 atmosfærer (500 kPa), vil vann øke tettheten med bare 0,024 %. Når det gjelder spørsmålet om viskositet, for en rekke praktiske problemer, når vann betraktes som et arbeidsfluid, kan det neglisjeres. For fullstendighetens skyld merker vi detdynamisk viskositet til vann ved 20 ^oC er 0,001 Pas², som er mager sammenlignet med denne verdien for honning (>2000).

Det er viktig å ikke forveksle begrepene ideell væske og ideell gass, siden sistnevnte er lett komprimerbar.

Kontinuitetsligning

I hydrodynamikk begynner bevegelsen til en ideell væske å bli vurdert fra studiet av ligningen for kontinuitet i dens strømning. For å forstå essensen av problemet, er det nødvendig å vurdere bevegelsen av væske gjennom røret. Tenk deg at ved innløpet har røret et seksjonsområde A₁, og ved utløpet A₂.

Anta nå at væsken renner i begynnelsen av røret med hastigheten v₁, dette betyr at med tiden t gjennom seksjonen A_{1strømningsvolum V}1_=A1_v1_{t. Siden væsken er ideell, det vil si inkompressibel, må nøyaktig samme vannmengde ut av enden av røret i tid t, får vi: V}2_=A2 _v2_{t. Fra likheten til volumene V}1 _{og V}2 _{, følger ligningen for kontinuiteten i strømmen til en ideell væske:}

A₁v₁=A₂v₂.

Av den resulterende ligningen følger det at hvis A₁>A₂, så v₁ skal være mindre enn v₂. Med andre ord, ved å redusere rørets tverrsnitt øker vi dermed hastigheten på væskestrømmen som forlater det. Åpenbart ble denne effekten observert av hver person i livet som minst en gang vannet blomsterbed med en slange ellerhage, så ved å dekke hullet i slangen med fingeren kan du se hvordan vannstrålen som spruter ut fra den blir sterkere.

Kontinuitetsligning for et forgrenet rør

Det er interessant å vurdere tilfellet med bevegelsen av en ideell væske gjennom et rør som ikke har én, men to eller flere utganger, det vil si at det er forgrenet. For eksempel er tverrsnittsarealet til et rør ved innløpet A₁, og mot utløpet forgrener det seg til to rør med seksjoner A₂og A_{3. La oss bestemme strømningshastighetene v}2 _{og v}3_{, hvis det er kjent at vann kommer inn i innløpet med en hastighet v} 1.

Ved å bruke kontinuitetsligningen får vi uttrykket: A₁v₁=A₂ v ₂ + A₃v₃. For å løse denne ligningen for ukjente hastigheter, må du forstå at ved utløpet, uansett hvilket rør strømmen er, beveger den seg med samme hastighet, det vil si v₂=v3_{. Dette faktum kan forstås intuitivt. Hvis utløpsrøret er delt i to deler av en skillevegg, vil strømningshastigheten ikke endres. Gitt dette faktum, får vi løsningen: v}2_=v3 _=A1_v1/(A₂ + A₃).

Bernoullis ligning for en ideell væske

Daniil Bernoulli, en sveitsisk fysiker og matematiker av nederlandsk opprinnelse, presenterte i sitt arbeid "Hydrodynamics" (1734) en ligning for en ideell væske som beskriver dens bevegelse. Den er skrevet i følgende form:

P+ ρv²/2 + ρgh=const.

Dette uttrykket gjenspeiler loven om bevaring av energi i tilfelle væskestrøm. Så det første leddet (P) er trykket rettet langs væskeforskyvningsvektoren, som beskriver strømmens arbeid, det andre leddet (ρv²/2) er kinetikken energien til det flytende stoffet, og den tredje termen (ρgh) er dens potensielle energi.

Husk at denne ligningen er gyldig for en ideell væske. I virkeligheten er det alltid friksjon av et flytende stoff mot rørets vegger og inne i volumet, derfor introduseres et tilleggsbegrep i Bernoulli-ligningen ovenfor som beskriver disse energitapene.

Bruk av Bernoulli-ligningen

Det er interessant å sitere noen oppfinnelser som bruker fradrag fra Bernoulli-ligningen:

• Skorstein og hetter. Det følger av ligningen at jo større bevegelseshastigheten til et flytende stoff er, desto lavere er trykket. Hastigheten på luftbevegelsen på toppen av skorsteinen er større enn ved basen, så røykstrømmen tenderer alltid oppover på grunn av trykkforskjellen.
• Vannrør. Ligningen hjelper til med å forstå hvordan vanntrykket i røret vil endre seg hvis diameteren til sistnevnte endres.
• Fly og Formel 1. Vinkelen på vingene på et fly og en F1-vinge gir forskjell i lufttrykk over og under vingen, noe som skaper henholdsvis løfte- og nedkraft.

Modi for væskestrøm

Bernoullis ligning er det ikketar hensyn til væskebevegelsesmodusen, som kan være av to typer: laminær og turbulent. Laminær strømning er preget av en rolig strømning, der væskelag beveger seg langs relativt jevne baner og ikke blandes med hverandre. Den turbulente modusen for væskebevegelse er preget av den kaotiske bevegelsen til hvert molekyl som utgjør strømmen. Et trekk ved det turbulente regimet er tilstedeværelsen av virvler.

Hvilken vei væsken vil strømme avhenger av en rekke faktorer (egenskapene til systemet, for eksempel tilstedeværelsen eller fraværet av ruhet på den indre overflaten av røret, viskositeten til stoffet og hastigheten til dets bevegelse). Overgangen mellom de betraktede bevegelsesmåtene er beskrevet av Reynolds tall.

Et slående eksempel på laminær flyt er den langsomme bevegelsen av blod gjennom glatte blodårer. Et eksempel på en turbulent strømning er et sterkt vanntrykk fra en kran.