En av matematikkens grener som skoleelever takler de største vanskelighetene med, er trigonometri. Ikke rart: for å mestre dette kunnskapsområdet fritt, trenger du romlig tenkning, evnen til å finne sinus, cosinus, tangenter, cotangenter ved hjelp av formler, forenkle uttrykk og kunne bruke tallet pi i beregninger. I tillegg må du kunne bruke trigonometri når du skal bevise teoremer, og dette krever enten et utviklet matematisk minne eller evnen til å utlede komplekse logiske kjeder.
The Origins of Trigonometry
Introduksjon til denne vitenskapen bør begynne med definisjonen av sinus, cosinus og tangens til en vinkel, men først må du finne ut hva trigonometri gjør generelt.
Historisk sett har rettvinklede trekanter vært hovedobjektet for forskning i denne delen av matematisk vitenskap. Tilstedeværelsen av en vinkel på 90 grader gjør det mulig å utføre ulike operasjoner som tillater tosider og ett hjørne eller to hjørner og en side for å bestemme verdiene til alle parametere til den aktuelle figuren. Tidligere la folk merke til dette mønsteret og begynte å bruke det aktivt i bygging av bygninger, navigasjon, astronomi og til og med kunst.
Inception
Innledningsvis snakket folk om forholdet mellom vinkler og sider utelukkende på eksemplet med rette trekanter. Da ble det oppdaget spesielle formler som gjorde det mulig å utvide bruksgrensene i hverdagen til denne delen av matematikken.
Studium av trigonometri på skolen i dag begynner med rette trekanter, hvoretter kunnskapen som er oppnådd blir brukt av elever i fysikk og løse abstrakte trigonometriske ligninger, arbeid med som begynner på videregående skole.
Sfærisk trigonometri
Senere, da vitenskapen nådde neste utviklingsnivå, begynte formler med sinus, cosinus, tangens, cotangens å bli brukt i sfærisk geometri, der andre regler gjelder, og summen av vinklene i en trekant er alltid mer enn 180 grader. Denne delen blir ikke studert på skolen, men det er nødvendig å vite om dens eksistens, i det minste fordi jordoverflaten, og overflaten til enhver annen planet, er konveks, noe som betyr at enhver markering av overflaten vil være "bueformet " i tredimensjon alt rom.
Ta en globus og en tråd. Fest tråden til to punkter på jordkloden slik at den er stram. Vær oppmerksom - den har fått formen av en bue. Den omhandler slike formersfærisk geometri brukt i geodesi, astronomi og andre teoretiske og anvendte felt.
Høyre trekant
Etter å ha lært litt om måtene å bruke trigonometri på, la oss gå tilbake til grunnleggende trigonometri for å forstå ytterligere hva sinus, cosinus, tangent er, hvilke beregninger som kan utføres med deres hjelp og hvilke formler som skal brukes.
Først av alt må du forstå begrepene knyttet til en rettvinklet trekant. For det første er hypotenusen siden motsatt 90 graders vinkel. Hun er den lengste. Vi husker at i henhold til Pythagoras teorem er dens numeriske verdi lik roten av summen av kvadratene til de to andre sidene.
For eksempel, hvis to sider er henholdsvis 3 og 4 centimeter, vil lengden på hypotenusen være 5 centimeter. Forresten, de gamle egypterne visste om dette for rundt fire og et halvt tusen år siden.
De to gjenværende sidene som danner en rett vinkel kalles ben. I tillegg må vi huske at summen av vinklene i en trekant i et rektangulært koordinatsystem er 180 grader.
Definition
Til slutt, med en solid forståelse av den geometriske basen, kan vi gå til definisjonen av sinus, cosinus og tangens til en vinkel.
Sinus til en vinkel er forholdet mellom det motsatte benet (det vil si siden motsatt ønsket vinkel) og hypotenusen. Cosinus til en vinkel er forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen.
Husk at verken sinus eller cosinus kan være større enn én! Hvorfor?Fordi hypotenusen som standard er den lengste siden av en rettvinklet trekant. Uansett hvor langt beinet er, vil det være kortere enn hypotenusen, noe som betyr at forholdet deres alltid vil være mindre enn én. Så hvis du får en sinus eller cosinus med en verdi større enn 1 i svaret på oppgaven, se etter en feil i beregninger eller resonnement. Dette svaret er helt klart feil.
Til slutt er tangenten til en vinkel forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side. Det samme resultatet vil gi deling av sinus med cosinus. Se: i henhold til formelen deler vi lengden på siden med hypotenusen, hvoretter vi deler med lengden på den andre siden og multipliserer med hypotenusen. Dermed får vi samme forhold som i definisjonen av tangenten.
Cotangent, henholdsvis, er forholdet mellom siden ved siden av hjørnet og motsatt side. Vi får samme resultat ved å dele enheten med tangenten.
Så vi har vurdert definisjonene av hva som er sinus, cosinus, tangens og cotangens, og vi kan forholde oss til formler.
Enkle formler
I trigonometri kan man ikke klare seg uten formler - hvordan finner man sinus, cosinus, tangens, cotangens uten dem? Men det er akkurat dette som kreves når du løser problemer.
Den første formelen du trenger å vite når du begynner å studere trigonometri sier at summen av kvadratene til sinus og cosinus til en vinkel er lik én. Denne formelen er en direkte konsekvens av Pythagoras teorem, men den sparer tid hvis du trenger å finne ut verdien av vinkelen, ikke siden.
Mange elever husker ikke den andre formelen, også veldigpopulært for å løse skoleoppgaver: summen av én og kvadratet av tangensen til en vinkel er lik én delt på kvadratet av vinkelens cosinus. Ta en nærmere titt: dette er tross alt det samme utsagnet som i den første formelen, bare begge sider av identiteten ble delt med kvadratet av cosinus. Det viser seg at en enkel matematisk operasjon gjør den trigonometriske formelen helt ugjenkjennelig. Husk: Når du vet hva en sinus, cosinus, tangent og cotangens er, konverteringsreglene og noen få grunnleggende formler, kan du når som helst uavhengig utlede de nødvendige mer komplekse formlene på et stykke papir.
Dobbelvinkelformler og tillegg av argumenter
To formler til å lære er relatert til sinus- og cosinusverdiene for summen og differansen av vinkler. De er vist i figuren nedenfor. Vær oppmerksom på at i det første tilfellet multipliseres sinus og cosinus begge ganger, og i det andre tilfellet blir det parvise produktet av sinus og cosinus lagt til.
Det er også formler knyttet til dobbeltvinkelargumenter. De er fullstendig avledet fra de forrige - som en praksis, prøv å få dem selv, ta vinkelen på alfa lik betavinkelen.
Til slutt, merk at dobbeltvinkelformlene kan konverteres for å redusere graden av sinus, cosinus, tangent alfa.
Setninger
De to hovedsetningene i grunnleggende trigonometri er sinussetningen og cosinussetningen. Ved hjelp av disse teoremene kan du enkelt forstå hvordan du finner sinus, cosinus og tangens, og derav arealet av figuren og størrelsenhver side osv.
Sinussetningen sier at som et resultat av å dele lengden på hver av sidene i en trekant med verdien av den motsatte vinkelen, får vi samme tall. Dessuten vil dette tallet være lik to radier av den omskrevne sirkelen, dvs. sirkelen som inneholder alle punktene i den gitte trekanten.
Cosinussetningen generaliserer Pythagoras setning, og projiserer den på alle trekanter. Det viser seg at fra summen av kvadratene til de to sidene, trekk produktet deres, multiplisert med den doble cosinus til vinkelen ved siden av dem - den resulterende verdien vil være lik kvadratet på den tredje siden. Dermed viser det seg at Pythagoras teoremet er et spesi altilfelle av cosinus-setningen.
Feil på grunn av uoppmerksomhet
Selv når man vet hva sinus, cosinus og tangens er, er det lett å gjøre feil på grunn av fravær eller feil i de enkleste beregningene. For å unngå slike feil, la oss ta en titt på de mest populære.
Først av alt, ikke konverter vanlige brøker til desimaler før du får det endelige resultatet - du kan la svaret være en vanlig brøk, med mindre annet er angitt i betingelsen. En slik transformasjon kan ikke kalles en feil, men det bør huskes at på hvert trinn av oppgaven kan det dukke opp nye røtter, som ifølge forfatterens idé bør reduseres. I dette tilfellet vil du kaste bort tid på unødvendige matematiske operasjoner. Dette gjelder spesielt for verdier som roten til tre eller to, fordi de forekommer i oppgaver ved hvert trinn. Det samme gjelder avrunding.«Stygge» tall.
Deretter, merk at cosinus-setningen gjelder for alle trekanter, men ikke Pythagoras setning! Hvis du feilaktig glemmer å trekke fra to ganger produktet av sidene multiplisert med cosinus av vinkelen mellom dem, vil du ikke bare få et helt feil resultat, men også demonstrere en fullstendig misforståelse av emnet. Dette er verre enn en uforsiktig feil.
For det tredje, ikke forveksle verdiene for vinkler på 30 og 60 grader for sinus, cosinus, tangenter, cotangenter. Husk disse verdiene, fordi sinus på 30 grader er lik cosinus på 60, og omvendt. Det er lett å blande dem sammen, og du vil uunngåelig få et feilaktig resultat.
Application
Mange studenter har ikke hastverk med å begynne å studere trigonometri, fordi de ikke forstår dens anvendte betydning. Hva er sinus, cosinus, tangens for en ingeniør eller astronom? Dette er konsepter som du kan bruke til å beregne avstanden til fjerne stjerner, forutsi fallet til en meteoritt, sende en forskningssonde til en annen planet. Uten dem er det umulig å bygge en bygning, designe en bil, beregne belastningen på overflaten eller banen til et objekt. Og dette er bare de mest åpenbare eksemplene! Tross alt brukes trigonometri i en eller annen form over alt, fra musikk til medisin.
Avslutningsvis
Så, du vet hva sinus, cosinus, tangens er. Du kan bruke dem i beregninger og løse skoleproblemer.
Hele poengettrigonometri er redusert til det faktum at i henhold til de kjente parametrene til trekanten er det nødvendig å beregne de ukjente. Det er seks parametere tot alt: lengden på tre sider og størrelsen på tre vinkler. Hele forskjellen i oppgavene ligger i at det er gitt ulike inputdata.
Hvordan finne sinus, cosinus, tangens basert på de kjente lengdene på bena eller hypotenusen, vet du nå. Siden disse begrepene ikke betyr noe mer enn et forhold, og et forhold er en brøk, er hovedmålet med det trigonometriske problemet å finne røttene til en vanlig ligning eller et ligningssystem. Og her vil den vanlige skolematematikken hjelpe deg.
