Sann kunnskap til enhver tid var basert på å etablere et mønster og bevise dets sannhet under visse omstendigheter. For en så lang periode med eksistens av logiske resonnementer, ble formuleringene av reglene gitt, og Aristoteles utarbeidet til og med en liste over «riktige resonnementer». Historisk sett er det vanlig å dele alle slutninger i to typer - fra det konkrete til flertall (induksjon) og omvendt (deduksjon). Det bør bemerkes at typer bevis fra spesielt til generelt og fra generelt til spesielt eksisterer kun i relasjon og kan ikke byttes ut.
Induksjon i matematikk
Begrepet "induksjon" (induksjon) har latinske røtter og oversettes bokstavelig t alt som "veiledning". Ved nærmere studium kan man skille strukturen til ordet, nemlig det latinske prefikset - i- (betegner rettet handling innover eller å være inne) og -duksjon - introduksjon. Det er verdt å merke seg at det er to typer - fullstendig og ufullstendig induksjon. Den fullstendige formen er preget av konklusjoner trukket fra studiet av alle fag i en bestemt klasse.
Ufullstendig - konklusjoner,brukt på alle elementer i klassen, men basert på studier av bare noen enheter.
Full matematisk induksjon - en konklusjon basert på en generell konklusjon om hele klassen av objekter som er funksjonelt relatert til relasjoner av den naturlige tallrekke basert på kunnskapen om denne funksjonelle sammenhengen. I dette tilfellet foregår bevisprosessen i tre trinn:
- på den første er riktigheten av utsagnet om matematisk induksjon bevist. Eksempel: f=1, dette er grunnlaget for induksjon;
- Neste trinn er basert på antakelsen om at posisjonen er gyldig for alle naturlige tall. Det vil si f=h, dette er induksjonshypotesen;
- på det tredje trinnet bevises gyldigheten av posisjonen for tallet f=h+1, basert på riktigheten av posisjonen i forrige avsnitt - dette er en induksjonsovergang, eller et trinn i matematisk induksjon. Et eksempel er det såk alte "dominoprinsippet": hvis det første beinet i en rad faller (basis), så faller alle steinene i rekken (overgang).
Spøk og seriøst
For å lette oppfatningen blir eksempler på løsninger ved metoden for matematisk induksjon fordømt som spøkeproblemer. Dette er høflig kø-oppgaven:
Atferdsregler forbyr en mann å ta en sving foran en kvinne (i en slik situasjon slipper hun foran). Basert på dette utsagnet, hvis den siste i køen er en mann, så er alle de andre menn
Et slående eksempel på metoden for matematisk induksjon er problemet "Dimensjonsløs flytur":
Det er påkrevd å bevise det iminibussen passer til et hvilket som helst antall personer. Det er sant at én person kan passe inn i transporten uten problemer (grunnlag). Men uansett hvor full minibussen er, vil det alltid passe 1 passasjer i den (induksjonstrinn)
kjente kretser
Eksempler på å løse problemer og ligninger ved matematisk induksjon er ganske vanlige. Tenk på følgende problem som en illustrasjon på denne tilnærmingen.
Tilstand: det er h sirkler på flyet. Det kreves å bevise at for ethvert arrangement av figurene, kan kartet som dannes av dem være korrekt farget med to farger.
Beslutning: for h=1 er sannheten i utsagnet åpenbar, så beviset vil bygges for antall sirkler h+1.
La oss anta at utsagnet er sant for ethvert kart, og h+1-sirkler er gitt på planet. Ved å fjerne en av sirklene fra totalen, kan du få et kart riktig farget med to farger (svart og hvit).
Når du gjenoppretter en slettet sirkel, endres fargen på hvert område til det motsatte (i dette tilfellet inne i sirkelen). Resultatet er et kart korrekt farget med to farger, som måtte bevises.
Eksempler med naturlige tall
Anvendelsen av metoden for matematisk induksjon er illustrert nedenfor.
Eksempler på løsning:
Bevis at likheten vil være korrekt for enhver h:
12+22+32+…+h 2=h(h+1)(2t+1)/6.
Løsning:
1. La h=1, så:
R1=12=1(1+1)(2+1)/6=1
Det følger at for h=1 er setningen riktig.
2. Forutsatt h=d, er ligningen:
R1=d2=d(d+1)(2d+1)/6=1
3. Forutsatt at h=d+1, viser det seg:
Rd+1=(d+1) (d+2) (2d+3)/6
Rd+1=12+22+3 2+…+d2+(d+1)2=d(d+1)(2d+1))/6+ (d+1)2=(d(d+1)(2d+1)+6(d+1)2 )/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=
(d+1)(2d2+7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)(2d+3)/6.
Dermed er gyldigheten av likheten for h=d+1 bevist, derfor er påstanden sann for et hvilket som helst naturlig tall, som er vist i eksempelet på løsningen ved matematisk induksjon.
Oppgave
Betingelse: det kreves bevis på at for enhver verdi av h, er uttrykket 7h-1 delelig med 6 uten en rest.
Løsning:
1. La oss si h=1, i dette tilfellet:
R1=71-1=6 (dvs. delelig med 6 uten en rest)
Derfor, for h=1 er påstanden sann;
2. La h=d og 7d-1 er delelig med 6 uten en rest;
3. Beviset for gyldigheten av utsagnet for h=d+1 er formelen:
Rd+1=7d+1 -1=7∙7d-7+6=7(7d-1)+6
I dette tilfellet er det første ledd delelig med 6 i henhold til forutsetningen i første ledd, og det andretermen er 6. Utsagnet om at 7h-1 er delelig med 6 uten en rest for noen naturlig h er sann.
False Judgment
Ofte brukes feil resonnement i bevis, på grunn av unøyaktigheten i de logiske konstruksjonene som brukes. I utgangspunktet skjer dette når strukturen og logikken til beviset brytes. Et eksempel på feil resonnement er følgende illustrasjon.
Oppgave
Tilstand: det kreves bevis på at enhver steinrøys ikke er en haug.
Løsning:
1. La oss si h=1, i dette tilfellet er det 1 stein i haugen og påstanden er sann (grunnlag);
2. La det være sant for h=d at en steinrøys ikke er en haug (antakelse);
3. La h=d+1, hvorav det følger at når en stein til legges til, vil ikke settet være en haug. Konklusjonen tyder på at antagelsen er gyldig for alle naturlige h.
Feilen ligger i at det ikke er noen definisjon av hvor mange steiner som utgjør en haug. En slik utelatelse kalles hastig generalisering i metoden for matematisk induksjon. Et eksempel viser dette tydelig.
Induksjon og logikkens lover
Historisk sett går eksempler på induksjon og deduksjon alltid hånd i hånd. Slike vitenskapelige disipliner som logikk, filosofi beskriver dem som motsetninger.
Fra et synspunkt av logikkens lov er induktive definisjoner basert på fakta, og sannheten til premissene bestemmer ikke riktigheten av den resulterende påstanden. Ofte innhentetkonklusjoner med en viss grad av sannsynlighet og plausibilitet, som selvfølgelig må verifiseres og bekreftes av ytterligere forskning. Et eksempel på induksjon i logikk vil være utsagnet:
Tørke i Estland, tørt i Latvia, tørt i Litauen.
Estland, Latvia og Litauen er de b altiske statene. Tørke i alle b altiske stater.
Fra eksemplet kan vi konkludere med at ny informasjon eller sannhet ikke kan oppnås ved bruk av induksjonsmetoden. Alt du kan stole på er en mulig sannhet av konklusjonene. Dessuten garanterer ikke sannheten i premissene de samme konklusjonene. Dette faktum betyr imidlertid ikke at induksjon vegeterer i bakgården til fradrag: et stort antall bestemmelser og vitenskapelige lover er underbygget ved hjelp av induksjonsmetoden. Matematikk, biologi og andre vitenskaper kan tjene som eksempel. Dette skyldes for det meste den fullstendige induksjonsmetoden, men i noen tilfeller er delvis også aktuelt.
Den ærverdige induksjonsalderen tillot den å trenge inn i nesten alle områder av menneskelig aktivitet – dette er vitenskap, økonomi og dagligdagse konklusjoner.
Induksjon i det vitenskapelige miljøet
Induksjonsmetoden krever en omhyggelig holdning, siden for mye avhenger av antall studerte detaljer i helheten: jo større antall studert, jo mer pålitelig er resultatet. Basert på denne funksjonen blir vitenskapelige lover oppnådd ved induksjon testet i lang tid på nivået av sannsynlige antakelser for å isolere og studere alle muligestrukturelle elementer, forbindelser og påvirkninger.
I vitenskapen er den induktive konklusjonen basert på vesentlige trekk, med unntak av tilfeldige bestemmelser. Dette faktum er viktig i forbindelse med spesifikke vitenskapelige kunnskaper. Dette sees tydelig i eksemplene på induksjon i vitenskap.
Det finnes to typer induksjon i den vitenskapelige verden (i forbindelse med måten å studere på):
- induksjonsvalg (eller utvalg);
- induksjon - ekskludering (eliminering).
Den første typen er preget av metodisk (gransk) prøvetaking av en klasse (underklasser) fra dens forskjellige områder.
Et eksempel på denne typen induksjon er som følger: sølv (eller sølvs alter) renser vann. Konklusjonen er basert på langtidsobservasjoner (et slags utvalg av bekreftelser og tilbakevisninger – utvalg).
Den andre typen induksjon er basert på konklusjoner som etablerer årsakssammenhenger og utelukker omstendigheter som ikke oppfyller dens egenskaper, nemlig universalitet, overholdelse av tidssekvensen, nødvendighet og entydighet.
Induksjon og deduksjon fra filosofiens ståsted
Hvis du ser på det historiske tilbakeblikket, ble begrepet "induksjon" først nevnt av Sokrates. Aristoteles beskrev eksempler på induksjon i filosofi i en mer tilnærmet terminologisk ordbok, men spørsmålet om ufullstendig induksjon forblir åpent. Etter forfølgelsen av den aristoteliske syllogismen begynte den induktive metoden å bli anerkjent som fruktbar og den eneste mulige innen naturvitenskap. Bacon regnes som induksjonens far som en uavhengig spesialmetode, men han klarte ikke å skille seg,som samtidige krevde, induksjon fra den deduktive metoden.
Videreutvikling av induksjon ble utført av J. Mill, som vurderte induksjonsteorien fra posisjonen til fire hovedmetoder: samsvar, forskjell, residualer og tilsvarende endringer. Det er ikke overraskende at de oppførte metodene i dag, når de undersøkes i detalj, er deduktive.
Bevissthet om feilen i teoriene til Bacon og Mill førte til at forskere undersøkte det sannsynlige grunnlaget for induksjon. Men selv her var det noen ytterpunkter: det ble gjort forsøk på å redusere induksjonen til sannsynlighetsteorien med alle de påfølgende konsekvenser.
Induksjon mottar en tillitserklæring i praktisk anvendelse i visse fagområder og på grunn av den metriske nøyaktigheten til det induktive grunnlaget. Et eksempel på induksjon og deduksjon i filosofi kan betraktes som loven om universell gravitasjon. På datoen for oppdagelsen av loven var Newton i stand til å bekrefte den med en nøyaktighet på 4 prosent. Og ved testing etter mer enn to hundre år, ble riktigheten bekreftet med en nøyaktighet på 0,0001 prosent, selv om testen ble utført med de samme induktive generaliseringene.
Moderne filosofi legger mer vekt på deduksjon, som er diktert av et logisk ønske om å hente ny kunnskap (eller sannhet) fra det som allerede er kjent, uten å ty til erfaring, intuisjon, men ved å bruke "rene" resonnementer. Når det refereres til de sanne premissene i den deduktive metoden, er utgangen i alle tilfeller en sann påstand.
Denne svært viktige egenskapen bør ikke overskygge verdien av den induktive metoden. Siden induksjon, avhengig av erfaringens prestasjoner,blir også et middel for å bearbeide det (inkludert generalisering og systematisering).
Anvendelse av induksjon i økonomi
Induksjon og deduksjon har lenge vært brukt som metoder for å studere økonomien og forutsi dens utvikling.
Utvalget for bruk av induksjonsmetoden er ganske bredt: studiet av oppfyllelsen av prognoseindikatorer (fortjeneste, avskrivninger, etc.) og en generell vurdering av foretakets tilstand; utforming av en effektiv forretningsfremmende politikk basert på fakta og deres relasjoner.
Den samme metoden for induksjon brukes i Shewharts diagrammer, der det, under forutsetning av at prosesser er delt inn i kontrollerte og uadministrerte prosesser, er oppgitt at rammeverket for den kontrollerte prosessen er inaktivt.
Det skal bemerkes at vitenskapelige lover begrunnes og bekreftes ved bruk av induksjonsmetoden, og siden økonomi er en vitenskap som ofte bruker matematisk analyse, risikoteori og statistiske data, er det ikke overraskende at induksjon er inkludert i liste over hovedmetoder.
Følgende situasjon kan tjene som eksempel på induksjon og deduksjon i økonomi. En økning i prisen på mat (fra forbrukerkurven) og essensielle varer presser forbrukeren til å tenke på de nye høye kostnadene i staten (induksjon). Samtidig er det mulig å utlede indikatorer på prisøkninger for individuelle varer eller varekategorier ved hjelp av matematiske metoder fra det faktum at det er høye kostnader (fradrag).
Oftest refererer ledere, ledere og økonomer til induksjonsmetoden. For ådet var mulig å forutsi med tilstrekkelig sannhet utviklingen av virksomheten, markedets atferd, konsekvensene av konkurranse, en induktiv-deduktiv tilnærming til analyse og behandling av informasjon er nødvendig.
Et illustrerende eksempel på induksjon i økonomi knyttet til feilaktige vurderinger:
-
bedriftens fortjeneste ned 30 %;
konkurrent utvider produktlinje;
ingenting annet har endret seg;
- konkurrentens produksjonspolitikk forårsaket en fortjenestekutt på 30 %;
- derav behovet for å implementere den samme produksjonspolitikken.
Eksemplet er en fargerik illustrasjon av hvordan den udugelige bruken av induksjonsmetoden bidrar til å ødelegge bedriften.
Deduksjon og induksjon i psykologi
Siden det finnes en metode, så er det logisk sett også en skikkelig organisert tenkning (å bruke metoden). Psykologi som en vitenskap som studerer mentale prosesser, deres dannelse, utvikling, relasjoner, interaksjoner, legger vekt på "deduktiv" tenkning som en av formene for manifestasjon av deduksjon og induksjon. Dessverre, på sidene til psykologi på Internett, er det praktisk t alt ingen begrunnelse for integriteten til den deduktiv-induktive metoden. Selv om profesjonelle psykologer er mer sannsynlig å møte manifestasjoner av induksjon, eller rettere sagt, feilaktige konklusjoner.
Et eksempel på induksjon i psykologi, som en illustrasjon av feilvurderinger, er utsagnet: min mor er en bedrager, derfor er alle kvinner bedragere. Du kan lære enda flere "feilaktige" eksempler på induksjon fra livet:
- en student er ikke i stand til noe hvis han fikk en toer i matematikk;
- han er en idiot;
- han er smart;
- Jeg kan gjøre hva som helst;
- og mange andre verdivurderinger basert på helt tilfeldige og noen ganger ubetydelige meldinger.
Det bør bemerkes: når feilen i en persons vurderinger når absurditet, er det en arbeidsfront for psykoterapeuten. Ett eksempel på induksjon ved en spesialistavtale:
“Pasienten er helt sikker på at den røde fargen kun medfører fare for ham i alle manifestasjoner. Som et resultat har en person ekskludert dette fargeskjemaet fra livet sitt - så langt som mulig. I hjemmemiljøet er det mange muligheter for komfortabel tilværelse. Du kan nekte alle røde gjenstander eller erstatte dem med analoger laget i et annet fargeskjema. Men på offentlige steder, på jobb, i butikken - det er umulig. Når pasienten kommer inn i en stresssituasjon, opplever pasienten hver gang en «flod» av helt andre følelsesmessige tilstander, som kan være farlige for andre.»
Dette eksemplet på induksjon, og ubevisst, kalles "faste ideer". Hvis dette skjer med en psykisk frisk person, kan vi snakke om manglende organisering av mental aktivitet. Den elementære utviklingen av deduktiv tenkning kan bli en måte å bli kvitt tvangstilstander på. I andre tilfeller jobber psykiatere med slike pasienter.
Eksemplene ovenfor på induksjon indikerer at «uvitenhet om loven ikke gjør detfrigjør fra konsekvenser (feilaktige vurderinger).»
Psykologer, som jobber med temaet deduktiv resonnement, har satt sammen en liste med anbefalinger utviklet for å hjelpe folk mestre denne metoden.
Det første elementet er problemløsning. Som man ser kan induksjonsformen som brukes i matematikk betraktes som "klassisk", og bruken av denne metoden bidrar til sinnets "disiplin".
Neste betingelse for utvikling av deduktiv tenkning er utvidelse av horisonter (de som tenker klart, tydelig sier). Denne anbefalingen dirigerer de "rammede" til skattkammerene for vitenskap og informasjon (biblioteker, nettsteder, utdanningsinitiativer, reiser osv.).
Nøyaktighet er neste anbefaling. Tross alt er det tydelig sett av eksempler på bruk av induksjonsmetoder at det på mange måter er garantien for sannheten av utsagn.
De gikk ikke utenom sinnets fleksibilitet, noe som antydet muligheten for å bruke forskjellige måter og tilnærminger for å løse problemet, i tillegg til å ta hensyn til variasjonen i utviklingen av hendelser.
Og, selvfølgelig, observasjon, som er hovedkilden til empirisk erfaring.
Spesielt bør nevnes den såk alte "psykologiske induksjonen". Selv om dette begrepet er sjeldent, finnes det på Internett. Alle kilder gir ikke i det minste en kort formulering av definisjonen av dette begrepet, men viser til "eksempler fra livet", mens de presenterer enten forslag eller noen former for psykiske lidelser som en ny type induksjon,Dette er de ekstreme tilstandene til den menneskelige psyken. Fra alt det ovenstående er det klart at et forsøk på å utlede en "ny term" basert på falske (ofte usanne) premisser, dømmer eksperimentatoren til å motta en feilaktig (eller forhastet) uttalelse.
Det skal bemerkes at referansen til eksperimentene i 1960 (uten å spesifisere stedet, navnene på forsøkslederne, prøven av forsøkspersoner og, viktigst av alt, formålet med eksperimentet) ser mildt ut., lite overbevisende, og påstanden om at hjernen oppfatter informasjon som går utenom alle sansningsorganer (uttrykket "er påvirket" i dette tilfellet ville passe inn mer organisk), får en til å tenke på godtroenheten og ukritikken til forfatteren av uttalelsen.
I stedet for en konklusjon
Queen of sciences - matematikk, bruker bevisst alle mulige reserver av metoden for induksjon og deduksjon. De vurderte eksemplene lar oss konkludere med at den overfladiske og udugelige (tenkeløse, som de sier) anvendelsen av selv de mest nøyaktige og pålitelige metodene alltid fører til feilaktige resultater.
I massebevisstheten er deduksjonsmetoden assosiert med den berømte Sherlock Holmes, som i sine logiske konstruksjoner ofte bruker eksempler på induksjon, ved å bruke deduksjon i nødvendige situasjoner.
Artikkelen undersøkte eksempler på bruken av disse metodene i ulike vitenskaper og sfærer av menneskelivet.
