Logaritmer: eksempler og løsninger

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2024-01-02 17:53

Som du vet, når du multipliserer uttrykk med potenser, summeres eksponentene deres alltid (a^ba^c=a^{b+ c). Denne matematiske loven ble utledet av Arkimedes, og senere, på 800-tallet, laget matematikeren Virasen en tabell med heltallsindikatorer. Det var de som tjente for videre oppdagelse av logaritmer. Eksempler på bruk av denne funksjonen finnes nesten over alt der det kreves å forenkle tungvint multiplikasjon til enkel addisjon. Hvis du bruker 10 minutter på å lese denne artikkelen, vil vi forklare deg hva logaritmer er og hvordan du kan jobbe med dem. Enkelt og tilgjengelig språk.}

Definisjon i matematikk

Logaritmen er et uttrykk for følgende form: log_ab=c c" der du må heve grunntallet "a" for å endelig få verdien " b". La oss analysere logaritmen ved å bruke eksempler, la oss si at det er et uttrykk log_{28. Hvordan finne svaret? Det er veldig enkelt, du må finne en slik grad at du får 8 fra 2 til den nødvendige graden. Etter å ha gjort noen beregninger i tankene dine, får vi tallet 3! Og det er sant, fordi2 hevet til 3 gir svaret 8.}

varianter av logaritmer

For mange elever og studenter virker dette temaet komplisert og uforståelig, men faktisk er ikke logaritmer så skumle, det viktigste er å forstå deres generelle betydning og huske egenskapene deres og noen regler. Det er tre separate typer logaritmiske uttrykk:

Naturlig logaritme ln a, der grunntall er Euler-tallet (e=2, 7).
Desimal logaritme lg a, der grunntall er tallet 10.
Logaritme av et hvilket som helst tall b til base a>1.

Hver av dem løses på en standard måte, inkludert forenkling, reduksjon og påfølgende reduksjon til én logaritme ved bruk av logaritmiske teoremer. For å få de riktige verdiene av logaritmer, bør man huske egenskapene deres og rekkefølgen på handlingene når de løses.

Regler og noen begrensninger

I matematikk er det flere regler-restriksjoner som er akseptert som et aksiom, det vil si at de ikke er omsettelige og er sanne. For eksempel er det umulig å dele tall med null, og det er også umulig å ta en partall rot fra negative tall. Logaritmer har også sine egne regler, og etter disse kan du enkelt lære å jobbe selv med lange og romslige logaritmiske uttrykk:

grunnlaget til "a" må alltid være større enn null, og samtidig ikke være lik 1, ellers vil uttrykket miste sin betydning, fordi "1" og "0" i en hvilken som helst grad alltid er lik verdiene deres;
if a > 0, then ab>0,det viser seg at "c" også må være større enn null.

Hvordan løser jeg logaritmer?

For eksempel, gitt oppgaven med å finne svaret på ligningen 10^x=100. Det er veldig enkelt, du må velge en slik potens, heve tallet ti, vi få 100. Dette, selvfølgelig Vel, kvadratisk kraft! 10^2=100.

La oss nå representere dette uttrykket som et logaritmisk uttrykk. Vi får log_{10100=2. Ved løsning av logaritmer konvergerer alle handlinger praktisk t alt til å finne potensen som basen til logaritmen må angis til for å få et gitt tall.}

For nøyaktig å bestemme verdien av en ukjent grad, må du lære deg hvordan du arbeider med gradtabellen. Det ser slik ut:

Som du kan se, kan noen eksponenter gjettes intuitivt hvis du har en teknisk tankegang og kunnskap om multiplikasjonstabellen. Imidlertid vil større verdier kreve et effekttabell. Det kan brukes selv av de som ikke forstår noe i det hele tatt i komplekse matematiske emner. Den venstre kolonnen inneholder tall (grunntall a), den øverste raden med tall er verdien av potensen c, som tallet a er hevet til. I skjæringspunktet definerer cellene verdiene til tallene som er svaret (ac=b). La oss for eksempel ta den aller første cellen med tallet 10 og kvadrere det, vi får verdien 100, som er indikert i skjæringspunktet mellom våre to celler. Alt er så enkelt og lett at selv den mest ekte humanist vil forstå!

ligninger og ulikheter

Det viser seg at nårUnder visse forhold er eksponenten logaritmen. Derfor kan alle matematiske numeriske uttrykk skrives som en logaritmisk ligning. For eksempel kan 3⁴=81 skrives som logaritmen av 81 til grunntallet 3, som er fire (log₃81=4). For negative grader er reglene de samme: 2^-5=1/32 skrevet som en logaritme, får vi log_{2 (1/32))=-5. En av de mest fascinerende delene av matematikk er temaet "logaritmer". Vi vil vurdere eksempler og løsninger på ligninger litt lavere, umiddelbart etter å ha studert egenskapene deres. For nå, la oss se på hvordan ulikheter ser ut og hvordan vi kan skille dem fra ligninger.}

Følgende uttrykk er gitt: log_{2(x-1) > 3 - det er en logaritmisk ulikhet, siden den ukjente verdien "x" er under tegnet til logaritme. Uttrykket sammenligner også to verdier: basis to-logaritmen til det ønskede tallet er større enn tallet tre.}

Den viktigste forskjellen mellom logaritmiske ligninger og ulikheter er at ligninger med logaritmer (eksempel - logaritme₂x=√9) _{impliserer i svaret en eller flere spesifikke numeriske verdier, mens når du løser en ulikhet, bestemmes både rekkevidden av akseptable verdier og bruddpunktene til denne funksjonen. Som et resultat er svaret ikke et enkelt sett med individuelle tall, som i svaret på ligningen, men en kontinuerlig serie eller sett med tall.}

Grunnleggende teoremer om logaritmer

Når du løser primitive oppgaver for å finne verdiene til logaritmen, kjenner du kanskje ikke dens egenskaper. Men når det gjelder logaritmiske ligninger eller ulikheter, er det først og fremst nødvendig å forstå og anvende i praksis alle de grunnleggende egenskapene til logaritmer. Vi vil bli kjent med eksemplene på ligninger senere, la oss først analysere hver egenskap mer detaljert.

Den grunnleggende identiteten ser slik ut: alogaB=B. Det gjelder bare hvis a er større enn 0, ikke lik én, og B er større enn null.

Logaritmen til produktet kan representeres i følgende formel: log_d(s₁s_2)=logd_s1 _{+ log}d_s2. _{I dette tilfellet er den obligatoriske betingelsen: d, s}1 _{og s}2 _{> 0; a≠1. Du kan gi et bevis for denne formelen av logaritmer, med eksempler og en løsning. La logg}a_s1 _=f1 _{og logg}a_s 2_=f2_{, deretter a}f1^=s1_{, a} f2^=s2. _{Vi får det s}1_s2 _=af1^a f2^=af1+f2 ^{(gradegenskaper), og videre per definisjon: log}a_(s1 _s2_)=f1_{+ f}2_=log a_{s1 + log}a_s2, _{som skulle bevises.}

Logaritmen til kvotienten ser slik ut: log_a(s_1/s₂)=logg _as₁- log_as_2.

Setningen i form av en formel har følgende form: log_a^qbⁿ =n/q log_ab.

Denne formelen kalles "egenskapen til graden av logaritmen". Det ligner egenskapene til vanlige grader, og det er ikke overraskende, fordi all matematikk hviler på vanlige postulater. La oss se på beviset.

La logge_ab=t, vi får en^t=b. Hvis du hever begge sider til m potens: a^tn=b^;

but because a^tn=(a^q)^nt/q=b ^{, derav log}aq _bn=(nt)/t, logg deretter^a_q b_n=n/q log^ab. Teorem bevist.

Eksempler på problemer og ulikheter

De vanligste typene logaritmeproblemer er eksempler på likninger og ulikheter. De finnes i nesten alle oppgavebøker, og inngår også i den obligatoriske delen av eksamen i matematikk. For å gå inn på et universitet eller bestå opptaksprøver i matematikk, må du vite hvordan du løser slike problemer riktig.

Dessverre er det ingen enkelt plan eller skjema for å løse og bestemme den ukjente verdien av logaritmen, men visse regler kan brukes på hver matematisk ulikhet eller logaritmisk ligning. Først av alt bør du finne ut om uttrykket kan forenkles eller reduseres til en generell form. Du kan forenkle lange logaritmiske uttrykk hvis du bruker egenskapene deres riktig. La oss snart bli kjent med dem.

Når du løser logaritmiske ligninger,det er nødvendig å bestemme hva slags logaritme vi har foran oss: et eksempel på et uttrykk kan inneholde en naturlig logaritme eller en desimal.

Her er eksempler på desimallogaritmer: ln100, ln1026. Løsningen deres koker ned til det faktum at du må bestemme i hvilken grad basen 10 vil være lik henholdsvis 100 og 1026. For løsninger av naturlige logaritmer må man anvende logaritmiske identiteter eller deres egenskaper. La oss se på eksempler på løsning av logaritmiske problemer av ulike typer.

Hvordan bruke logaritmeformler: med eksempler og løsninger

Så, la oss se på eksempler på bruk av hovedsetningene om logaritmer.

Egenskapen til logaritmen til produktet kan brukes i oppgaver der det er nødvendig å dekomponere en stor verdi av tallet b til enklere faktorer. For eksempel log₂4 + log₂128=log₂(4128)=log_{2512. Svaret er 9.}

log₄8=log_2² 2³ =3/2 log_{22=1, 5 - som du kan se, ved å bruke den fjerde egenskapen til graden av logaritmen, klarte vi å løse ved første øyekast et komplekst og uløselig uttrykk. Alt du trenger å gjøre er å faktorisere basen og deretter ta kraften ut av tegnet til logaritmen.}

Oppgaver fra eksamen

Logaritmer finnes ofte i opptaksprøver, spesielt mange logaritmiske problemer i Unified State Examination (statlig eksamen for alle skolekandidater). Vanligvis er disse oppgavene til stede ikke bare i del A (mestenkel prøvedel av eksamen), men også i del C (de vanskeligste og mest omfangsrike oppgavene). Eksamenen krever nøyaktig og perfekt kunnskap om emnet "Naturlige logaritmer".

Eksempler og problemløsninger er hentet fra de offisielle versjonene av eksamen. La oss se hvordan slike oppgaver løses.

Givd log₂(2x-1)=4. Løsning:

skriv om uttrykket, forenkle det litt log_2(2x-1)=22^{, ved definisjonen av logaritmen får vi at 2x-1=2}4^{, derav 2x=17; x=8, 5.}

Følg noen få retningslinjer, og etter disse kan du enkelt løse alle ligninger som inneholder uttrykk som er under fortegnet til logaritmen.

Det er best å redusere alle logaritmer til samme base slik at løsningen ikke blir tungvint og forvirrende.
Alle uttrykk under logaritmetegnet er angitt som positive, så når du multipliserer eksponenten til uttrykket som er under logaritmetegnet og som basis, må uttrykket som blir igjen under logaritmen være positivt.