Å studere sannsynlighetsteorien begynner med å løse problemer med addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter. Det er verdt å nevne med en gang at når man mestrer dette kunnskapsfeltet, kan en student støte på et problem: hvis fysiske eller kjemiske prosesser kan representeres visuelt og forstås empirisk, så er nivået av matematisk abstraksjon veldig høyt, og forståelse her kommer bare med erfaring.
Men spillet er verdt lyset, fordi formlene - både vurdert i denne artikkelen og mer komplekse - brukes over alt i dag og kan godt være nyttige i arbeidet.
Origin
Merkelig nok var drivkraften for utviklingen av denne delen av matematikken … gambling. Faktisk er terninger, myntkast, poker, rulett typiske eksempler som bruker addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter. På eksemplet med oppgaver i en hvilken som helst lærebok, kan dette sees tydelig. Folk var interessert i å lære å øke sjansene for å vinne, og jeg må si at noen lyktes med dette.
For eksempel, allerede i det 21. århundre, en person hvis navn vi ikke vil avsløre,brukte denne kunnskapen akkumulert gjennom århundrene til å bokstavelig t alt "rense" kasinoet, og vant flere titalls millioner dollar på rulett.
Men til tross for den økte interessen for faget, var det først på 1900-tallet at det ble utviklet et teoretisk rammeverk som gjorde «teorveren» til en fullverdig komponent i matematikken. I dag, i nesten enhver vitenskap, kan du finne beregninger ved hjelp av sannsynlige metoder.
Anvendbarhet
Et viktig poeng når du bruker formler for addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter, betinget sannsynlighet er tilfredsstillelsen til den sentrale grensesetningen. Ellers, selv om det kanskje ikke blir realisert av studenten, vil alle beregninger, uansett hvor plausible de kan virke, være feil.
Ja, den høyt motiverte eleven blir fristet til å bruke ny kunnskap ved enhver anledning. Men i dette tilfellet bør man senke farten litt og strengt skissere anvendelsesområdet.
Sannsynlighetsteori omhandler tilfeldige hendelser, som i empiriske termer er resultater av eksperimenter: vi kan kaste en sekssidig terning, trekke et kort fra en kortstokk, forutsi antall defekte deler i en batch. Men i noen spørsmål er det kategorisk umulig å bruke formler fra denne delen av matematikken. Vi vil diskutere funksjonene ved å vurdere sannsynlighetene for en hendelse, teoremene om addisjon og multiplikasjon av hendelser på slutten av artikkelen, men la oss nå gå til eksempler.
Grunnleggende konsepter
En tilfeldig hendelse betyr en prosess eller et resultat som kanskje ikke visessom et resultat av eksperimentet. For eksempel kaster vi en sandwich - den kan falle smør opp eller smør ned. Begge utfallene vil være tilfeldige, og vi vet ikke på forhånd hvilket av dem som vil finne sted.
Når vi studerer addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter, trenger vi to begreper til.
Felles hendelser er de hendelsene der forekomsten av den ene ikke utelukker forekomsten av den andre. La oss si at to personer skyter mot et mål samtidig. Hvis en av dem avfyrer et vellykket skudd, vil det ikke påvirke den andres evne til å treffe eller bomme.
Inkonsistente vil være slike hendelser, hvis forekomst samtidig er umulig. For eksempel, ved å trekke bare én ball ut av boksen, kan du ikke få både blå og rød på en gang.
Betegnelse
Begrepet sannsynlighet er merket med den latinske store bokstaven P. Neste i parentes er argumenter som angir noen hendelser.
I formlene til addisjonsteoremet, betinget sannsynlighet, multiplikasjonssetningen, vil du se uttrykk i parentes, for eksempel: A+B, AB eller A|B. De vil bli beregnet på ulike måter, vi vil nå henvende oss til dem.
Addition
La oss vurdere tilfeller der addisjons- og multiplikasjonsformler brukes.
For inkompatible hendelser er den enkleste addisjonsformelen relevant: sannsynligheten for et av de tilfeldige utfallene vil være lik summen av sannsynlighetene for hvert av disse utfallene.
Anta at det er en boks med 2 blå, 3 røde og 5 gule ballonger. Det er tot alt 10 varer i esken. Hvor stor er prosentandelen av sannheten til påstanden om at vi skal tegne en blå eller rød ball? Det vil være lik 2/10 + 3/10, dvs. femti prosent.
Hvis det er inkompatible hendelser, blir formelen mer komplisert, siden en ekstra term legges til. Vi kommer tilbake til det i ett avsnitt etter å ha vurdert en formel til.
Multiplikasjon
Addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter for uavhengige hendelser brukes i forskjellige tilfeller. Hvis vi, i henhold til tilstanden til eksperimentet, er fornøyd med ett av de to mulige utfallene, vil vi beregne summen; hvis vi ønsker å få to bestemte utfall etter hverandre, vil vi ty til å bruke en annen formel.
Når vi går tilbake til eksempelet fra forrige avsnitt, vil vi først tegne den blå ballen og deretter den røde. Det første tallet vi kjenner er 2/10. Hva skjer etterpå? Det er 9 kuler igjen, det er fortsatt like mange røde - tre stykker. I følge beregningene får du 3/9 eller 1/3. Men hva skal man gjøre med to tall nå? Det riktige svaret er å multiplisere for å få 2/30.
Fellesarrangementer
Nå kan vi se på sumformelen for fellesarrangementer. Hvorfor går vi bort fra temaet? For å lære hvordan sannsynligheter multipliseres. Nå vil denne kunnskapen komme godt med.
Vi vet allerede hva de to første leddene vil være (det samme som i addisjonsformelen som ble vurdert tidligere), nå må vi trekke fraproduktet av sannsynligheter som vi nettopp har lært å beregne. For klarhet skriver vi formelen: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). Det viser seg at både addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter brukes i ett uttrykk.
La oss si at vi må løse ett av de to problemene for å få kreditt. Vi kan løse den første med en sannsynlighet på 0,3, og den andre - 0,6 Løsning: 0,3 + 0,6 - 0,18=0,72. Merk at det ikke er nok å summere tallene her.
Betinget sannsynlighet
Til slutt er det begrepet betinget sannsynlighet, hvis argumenter er angitt i parentes og atskilt med en vertikal strek. Oppføringen P(A|B) lyder som følger: "sannsynlighet for hendelse A gitt hendelse B".
La oss se på et eksempel: en venn gir deg en enhet, la det være en telefon. Den kan være ødelagt (20 %) eller god (80 %). Du er i stand til å reparere en hvilken som helst enhet som faller i hendene dine med en sannsynlighet på 0,4 eller du er ikke i stand til å gjøre det (0,6). Til slutt, hvis enheten fungerer, kan du nå rett person med en sannsynlighet på 0,7.
Det er lett å se hvordan betinget sannsynlighet fungerer i dette tilfellet: du kan ikke komme igjennom til en person hvis telefonen er ødelagt, og hvis den er bra, trenger du ikke fikse den. Derfor, for å få resultater på "andre nivå", må du vite hvilken hendelse som ble utført på den første.
Beregninger
La oss vurdere eksempler på å løse problemer med addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter, ved å bruke dataene fra forrige avsnitt.
Først, la oss finne sannsynligheten for at dureparere enheten du har fått. For å gjøre dette må det for det første være feil, og for det andre må du takle reparasjonen. Dette er et typisk multiplikasjonsproblem: vi får 0,20,4=0,08.
Hva er sannsynligheten for at du umiddelbart kommer igjennom til rett person? Enklere enn enkelt: 0,80,7=0,56. I dette tilfellet fant du ut at telefonen fungerer og ringte.
Til slutt, tenk på dette scenariet: du mottok en ødelagt telefon, fikset den og slo nummeret, og personen i motsatt ende tok telefonen. Her er multiplikasjon av tre komponenter allerede nødvendig: 0, 20, 40, 7=0, 056.
Og hva om du har to ikke-fungerende telefoner samtidig? Hvor sannsynlig er det at du fikser minst én av dem? Dette er et problem med addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter, siden felleshendelser brukes. Løsning: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
Forsiktig bruk
Som nevnt i begynnelsen av artikkelen, bør bruken av sannsynlighetsteori være bevisst og bevisst.
Jo større serie av eksperimenter, jo nærmere den teoretisk forutsagte verdien nærmer seg den praktiske. For eksempel kaster vi en mynt. Teoretisk sett, ved å vite om eksistensen av formler for addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter, kan vi forutsi hvor mange ganger hoder og haler vil falle ut hvis vi utfører eksperimentet 10 ganger. Vi gjorde et eksperiment ogTilfeldigvis var forholdet mellom de droppede sidene 3 til 7. Men hvis du gjennomfører en serie på 100, 1000 eller flere forsøk, viser det seg at distribusjonsgrafen kommer nærmere og nærmere den teoretiske: 44 til 56, 482 til 518 og så videre.
Tenk deg nå at dette eksperimentet ikke utføres med en mynt, men med produksjon av et nytt kjemisk stoff som vi ikke vet sannsynligheten for. Vi ville kjørt 10 eksperimenter, og hvis vi ikke fikk et vellykket resultat, kunne vi generalisere: "stoffet kan ikke oppnås." Men hvem vet, hvis vi gjorde det ellevte forsøket, ville vi ha nådd målet eller ikke?
Så hvis du skal inn i det ukjente, det uutforskede riket, gjelder kanskje ikke sannsynlighetsteorien. Hvert påfølgende forsøk i dette tilfellet kan være vellykket, og generaliseringer som "X finnes ikke" eller "X er umulig" vil være for tidlig.
Avslutningsord
Så vi har sett på to typer addisjon, multiplikasjon og betingede sannsynligheter. Med videre studier av dette området er det nødvendig å lære å skille situasjoner når hver spesifikk formel brukes. I tillegg må du forstå om probabilistiske metoder er generelt anvendelige for å løse problemet ditt.
Hvis du øver, vil du etter en stund begynne å utføre alle nødvendige operasjoner utelukkende i tankene dine. For de som er glad i kortspill, kan denne ferdigheten vurderesekstremt verdifullt - du vil øke sjansene dine for å vinne betraktelig, bare ved å beregne sannsynligheten for at et bestemt kort eller farge faller ut. Den ervervede kunnskapen kan imidlertid lett brukes på andre aktivitetsområder.
