Sirkel er hovedfiguren i geometri, hvis egenskaper vurderes på skolen i 8. klasse. Et av de typiske problemene knyttet til en sirkel er å finne arealet til en del av den, som kalles en sirkulær sektor. Artikkelen gir formler for arealet til en sektor og lengden på dens bue, samt et eksempel på hvordan de brukes for å løse et spesifikt problem.
Konseptet med en sirkel og en sirkel
Før du gir formelen for arealet av en sektor av en sirkel, la oss vurdere hva den indikerte figuren er. I følge den matematiske definisjonen forstås en sirkel som en slik figur på et plan, der alle punkter er like langt fra et punkt (sentrum).
Når du vurderer en sirkel, brukes følgende terminologi:
- Radius - et segment som er tegnet fra det sentrale punktet til sirkelens kurve. Det er vanligvis merket med bokstaven R.
- Diameter er et segment som forbinder to punkter i sirkelen, men som også går gjennom midten av figuren. Det er vanligvis merket med bokstaven D.
- Arc er en del av en buet sirkel. Den måles enten i lengdeenheter eller ved hjelp av vinkler.
Sirkel er en annen viktig geometrisk figur, det er en samling punkter som er avgrenset av en buet sirkel.
Sirkelområde og omkrets
Verdiene som er angitt i tittelen på varen beregnes ved hjelp av to enkle formler. De er oppført nedenfor:
- Omkrets: L=2piR.
- Areal av en sirkel: S=piR2.
I disse formlene er pi en konstant k alt Pi. Det er irrasjonelt, det vil si at det ikke kan uttrykkes nøyaktig som en enkel brøk. Pi er omtrent 3,1416.
Som du kan se av uttrykkene ovenfor, er det nok å kjenne radiusen til sirkelen for å beregne arealet og lengden.
Arealet til sirkelsektoren og lengden på dens bue
Før vi vurderer de tilsvarende formlene, husker vi at vinkelen i geometri vanligvis uttrykkes på to hovedmåter:
- i seksagesimale grader, og en full rotasjon rundt aksen er 360o;
- i radianer, uttrykt som brøker av pi og relatert til grader ved følgende ligning: 2pi=360o.
Sektoren til en sirkel er en figur avgrenset av tre linjer: en sirkelbue og to radier plassert i enden av denne buen. Et eksempel på en sirkulær sektor er vist på bildet nedenfor.
Å få en idé om hva en sektor for en sirkel er, det er enkeltforstå hvordan du beregner området og lengden på den tilsvarende buen. Det kan sees fra figuren over at buen til sektoren tilsvarer vinkelen θ. Vi vet at en hel sirkel tilsvarer 2pi radianer, så formelen for arealet av en sirkulær sektor vil ha formen: S1=Sθ/(2 pi)=piR 2θ/(2pi)=θR2/2. Her er vinkelen θ uttrykt i radianer. En lignende formel for sektorområdet, hvis vinkelen θ måles i grader, vil se slik ut: S1=piθR2 /360.
Lengden på buen som danner en sektor, beregnes ved hjelp av formelen: L1=θ2piR/(2pi)=θR. Og hvis θ er kjent i grader, så: L1=piθR/180.
Eksempel på problemløsning
La oss bruke eksempelet på en enkel oppgave for å vise hvordan man bruker formlene for arealet av en sektor av en sirkel og lengden på dens bue.
Det er kjent at hjulet har 12 eiker. Når hjulet gjør én hel omdreining, dekker det en avstand på 1,5 meter. Hva er området innelukket mellom to tilstøtende eiker på hjulet, og hva er lengden på buen mellom dem?
Som du kan se av de tilsvarende formlene, må du vite to størrelser for å bruke dem: radiusen til sirkelen og buevinkelen. Radiusen kan beregnes fra å kjenne omkretsen til hjulet, siden avstanden som den har tilbakelagt i en omdreining, tilsvarer nøyaktig den. Vi har: 2Rpi=1,5, hvorav: R=1,5/(2pi)=0,2387 meter. Vinkelen mellom de nærmeste eikene kan bestemmes ved å kjenne antallet. Forutsatt at alle 12 eiker deler sirkelen jevnt i like sektorer, får vi 12 like sektorer. Følgelig er vinkelmålet på buen mellom de to eikene: θ=2pi/12=pi/6=0,5236 radian.
Vi har funnet alle nødvendige verdier, nå kan de erstattes i formlene og beregne verdiene som kreves av tilstanden til problemet. Vi får: S1=0,5236(0,2387)2/2=0,0149 m2, eller 149cm2; L1=0,52360,2387=0,125 m eller 12,5 cm.
