Steiners teorem eller parallellaksesetning for beregning av treghetsmomentet

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2023-12-17 05:37

I den matematiske beskrivelsen av rotasjonsbevegelse er det viktig å kjenne systemets treghetsmoment om aksen. I det generelle tilfellet innebærer prosedyren for å finne denne mengden implementering av integrasjonsprosessen. Det såk alte Steiner-teoremet gjør det lettere å regne ut. La oss vurdere det mer detaljert i artikkelen.

Hva er treghetsmoment?

Før du gir formuleringen av Steiners teorem, er det nødvendig å ta for seg selve begrepet treghetsmomentet. Anta at det er en kropp med en viss masse og vilkårlig form. Denne kroppen kan enten være et materialpunkt eller et hvilket som helst todimensjon alt eller tredimensjon alt objekt (stang, sylinder, kule, etc.). Hvis det aktuelle objektet gjør en sirkulær bevegelse rundt en akse med konstant vinkelakselerasjon α, kan følgende ligning skrives:

M=Iα

Her representerer verdien M det totale kreftmomentet, som gir akselerasjon α til hele systemet. Proporsjonalitetskoeffisienten mellom dem - I, kallestreghetsmoment. Denne fysiske mengden beregnes ved å bruke følgende generelle formel:

I=∫_m (r²dm)

Her er r avstanden mellom elementet med masse dm og rotasjonsaksen. Dette uttrykket betyr at det er nødvendig å finne summen av produktene av de kvadrerte avstandene r² og den elementære massen dm. Det vil si at treghetsmomentet ikke er en ren egenskap ved kroppen, noe som skiller den fra lineær treghet. Det avhenger av fordelingen av masse gjennom objektet som roterer, samt avstanden til aksen og orienteringen til kroppen i forhold til den. For eksempel vil en stang ha et annet I hvis den roteres rundt massesenteret og rundt enden.

treghetsmoment og Steiners teorem

Den berømte sveitsiske matematikeren, Jakob Steiner, beviste teoremet om parallelle akser og treghetsmomentet, som nå bærer navnet hans. Denne teoremet postulerer at treghetsmomentet for absolutt ethvert stivt legeme med vilkårlig geometri i forhold til en rotasjonsakse er lik summen av treghetsmomentet om aksen som skjærer legemets massesenter og er parallell med den første., og produktet av kroppsmassen ganger kvadratet av avstanden mellom disse aksene. Matematisk er denne formuleringen skrevet som følger:

I_Z=I_O + ml²

I_Z og I_O - treghetsmomenter rundt Z-aksen og O-aksen parallelt med den, som passerer gjennom kroppens massesenter, l - avstand mellom linjene Z og O.

Setningen tillater, å vite verdien av I_O, å beregneethvert annet øyeblikk I_Z om en akse som er parallell med O.

Bevis for teoremet

Steiner-teoremets formel kan enkelt fås selv. For å gjøre dette, vurder en vilkårlig kropp på xy-planet. La opprinnelsen til koordinatene passere gjennom massesenteret til denne kroppen. La oss beregne treghetsmomentet I_O som går gjennom origo vinkelrett på xy-planet. Siden avstanden til et hvilket som helst punkt i kroppen uttrykkes med formelen r=√ (x² + y²), får vi integralet:

I_O=∫_m (r²dm)=∫ m _((x2^+y2^{) dm)}

La oss nå flytte aksen parallelt langs x-aksen med en avstand l, for eksempel i positiv retning, så vil beregningen for den nye aksen for treghetsmomentet se slik ut:

I_Z=∫_m(((x+l)²+y ²)dm)

Utvid hele firkanten i parentes og del integrandene, vi får:

I_Z=∫_m ((x²+l ²+2xl+y²)dm)=∫_m ((x²⁾ +y²)dm) + 2l∫_m (xdm) + l ²∫_mdm

Den første av disse termene er verdien I_O, den tredje termen, etter integrering, gir termen l²m, og her er andre ledd null. Nullstillingen av det spesifiserte integralet skyldes at det er tatt fra produktet av x og masseelementene dm, som igjennomsnitt gir null, siden massesenteret er i origo. Som et resultat oppnås formelen til Steiner-teoremet.

Det aktuelle tilfellet på flyet kan generaliseres til en tredimensjonal kropp.

Sjekker Steiner-formelen på eksemplet med en stang

La oss gi et enkelt eksempel for å demonstrere hvordan man bruker teoremet ovenfor.

Det er kjent at for en stang med lengde L og masse m, er treghetsmomentet I_O(aksen går gjennom massesenteret) lik m L² /12, og øyeblikket I_Z(aksen går gjennom enden av stangen) er lik mL 2^{/3. La oss sjekke disse dataene ved å bruke Steiners teorem. Siden avstanden mellom de to akslene er L/2, får vi øyeblikket I}Z_:

I_Z=I_O+ m(L/2)²=mL²/12 + mL²/4=4mL² /12=mL²/3

Det vil si at vi sjekket Steiner-formelen og fikk samme verdi for I_Z som i kilden.

Lignende beregninger kan utføres for andre legemer (sylinder, kule, skive), mens man oppnår de nødvendige treghetsmomentene, og uten å utføre integrasjon.

treghetsmoment og perpendikulære akser

Det betraktede teoremet gjelder parallelle akser. For fullstendig informasjon er det også nyttig å gi et teorem for perpendikulære akser. Den er formulert som følger: for et flatt objekt med vilkårlig form, vil treghetsmomentet om en akse vinkelrett på det være lik summen av to treghetsmomenter om to på hverandre vinkelrette og liggendei planet til akseobjektet, med alle tre aksene som går gjennom samme punkt. Matematisk skrives dette slik:

I_z=I_x + I_y

Her er z, x, y tre innbyrdes vinkelrette rotasjonsakser.

Den vesentlige forskjellen mellom denne teoremet og Steiners teorem er at den kun kan brukes på flate (todimensjonale) solide objekter. Ikke desto mindre er det i praksis mye brukt, og kutter kroppen ment alt i separate lag, og legger deretter til de oppnådde treghetsmomentene.