I matematikk er inverse funksjoner gjensidig korresponderende uttrykk som blir til hverandre. For å forstå hva dette betyr, er det verdt å vurdere et spesifikt eksempel. La oss si at vi har y=cos(x). Hvis vi tar cosinus fra argumentet, kan vi finne verdien av y. Selvfølgelig må du ha x for dette. Men hva om spilleren først er gitt? Det er her det kommer til kjernen av saken. For å løse problemet kreves det bruk av en invers funksjon. I vårt tilfelle er dette buekosinus.
Etter alle transformasjonene får vi: x=arccos(y).
Det vil si, for å finne en funksjon invers til en gitt, er det nok bare å uttrykke et argument fra den. Men dette fungerer bare hvis resultatet vil ha én enkelt verdi (mer om det senere).
I generelle termer kan dette faktum skrives som følger: f(x)=y, g(y)=x.
Definition
La f være en funksjon hvis domene er settet X, ogverdiområdet er settet Y. Så, hvis det finnes g hvis domener utfører motsatte oppgaver, er f reversibel.
Dessuten er g i dette tilfellet unik, noe som betyr at det er nøyaktig én funksjon som tilfredsstiller denne egenskapen (ikke mer eller mindre). Da kalles den invers funksjon, og i skrift betegnes den slik: g(x)=f -1(x).
Med andre ord kan de ses på som en binær relasjon. Reversibilitet finner sted bare når ett element i settet tilsvarer en verdi fra en annen.
Det er ikke alltid en invers funksjon. For å gjøre dette må hvert element y є Y tilsvare maksim alt én x є X. Da kalles f en-til-en eller injeksjon. Hvis f -1 tilhører Y, må hvert element i dette settet tilsvare noen x ∈ X. Funksjoner med denne egenskapen kalles surjeksjoner. Det holder per definisjon hvis Y er et bilde f, men dette er ikke alltid tilfelle. For å være invers, må en funksjon være både en injeksjon og en injeksjon. Slike uttrykk kalles bijeksjoner.
Eksempel: kvadrat- og rotfunksjoner
Funksjonen er definert på [0, ∞) og gitt av formelen f (x)=x2.
Da er det ikke injektiv, fordi alle mulige utfall Y (unntatt 0) tilsvarer to forskjellige X-er - en positiv og en negativ, så den er ikke reversibel. I dette tilfellet vil det være umulig å få de første dataene fra de mottatte, noe som motsierteorier. Den vil være ikke-injektiv.
Hvis definisjonsdomenet er betinget begrenset til ikke-negative verdier, vil alt fungere som før. Da er den bijektiv og dermed inverterbar. Den inverse funksjonen her kalles positiv.
Merknad ved inngang
La betegnelsen f -1 (x) kan forvirre en person, men ikke i noe tilfelle skal den brukes slik: (f (x)) - 1 . Det refererer til et helt annet matematisk konsept og har ingenting med den inverse funksjonen å gjøre.
Som en generell regel bruker noen forfattere uttrykk som sin-1 (x).
Men andre matematikere mener at dette kan skape forvirring. For å unngå slike vanskeligheter er inverse trigonometriske funksjoner ofte betegnet med prefikset "bue" (fra den latinske buen). I vårt tilfelle snakker vi om arcsine. Du kan også av og til se prefikset "ar" eller "inv" for noen andre funksjoner.
