For å gjøre det lettere for leseren å forestille seg hva en hyperboloid er - et tredimensjon alt objekt - må du først vurdere den buede hyperbelen med samme navn, som passer inn i et todimensjon alt rom.
En hyperbel har to akser: den virkelige, som i denne figuren sammenfaller med abscisse-aksen, og den imaginære, med y-aksen. Hvis du ment alt begynner å snu ligningen til en hyperbel rundt dens imaginære akse, vil overflaten "sett" av kurven være en enkeltarks hyperboloid.
Hvis vi derimot begynner å rotere hyperbelen rundt dens reelle akse på denne måten, vil hver av de to "halvdelene" av kurven danne sin egen separate overflate, og sammen kalles den en to- arkhyperboloid.
Fået ved å rotere den tilsvarende plankurven, kalles de henholdsvis rotasjonshyperboloider. De har parametere i alle retninger vinkelrett på rotasjonsaksen,som tilhører den roterte kurven. Generelt er ikke dette tilfellet.
Hyperboloid-ligning
Generelt kan en overflate defineres av følgende ligninger i kartesiske koordinater(x, y, z):
I tilfellet med en revolusjonshyperboloid, er dens symmetri om aksen den roterte rundt uttrykt i likheten til koeffisientene a=b.
Hyperboloidegenskaper
Han har et triks. Vi vet at kurver på et plan har fokus - i tilfelle av en hyperbel, for eksempel, modulen for forskjellen i avstander fra et vilkårlig punkt på en hyperbel til ett fokus, og det andre er konstant per definisjon, faktisk av fokus poeng.
Når man flytter til tredimensjon alt rom, endres praktisk t alt ikke definisjonen: foci er igjen to punkter, og forskjellen i avstander fra dem til et vilkårlig punkt som tilhører den hyperboloide overflaten er konstant. Som du kan se, dukket bare den tredje koordinaten opp fra endringene for alle mulige punkter, for nå er de satt i rommet. Generelt sett tilsvarer å definere et fokus å identifisere typen kurve eller overflate: ved å snakke om hvordan punktene på overflaten er plassert i forhold til brennpunktene, svarer vi faktisk på spørsmålet om hva en hyperboloid er og hvordan den ser ut.
Det er verdt å huske at en hyperbel har asymptoter - rette linjer, som grenene har en tendens til uendelig til. Hvis man, når man konstruerer en revolusjonshyperboloid, ment alt roterer asymptotene sammen med hyperbelen, vil man i tillegg til hyperboloiden også få en kjegle som kalles asymptotisk. Den asymptotiske kjeglen erfor hyperboloider med ett og to ark.
En annen viktig egenskap som bare en ettarks hyperboloid har, er rettlinjede generatorer. Som navnet tilsier er dette linjer, og de ligger helt på en gitt overflate. To rettlinjede generatorer passerer gjennom hvert punkt i en hyperboloid med ett ark. De tilhører henholdsvis to familier av linjer, som er beskrevet av følgende ligningssystemer:
Dermed kan en ettarks hyperboloid være helt sammensatt av et uendelig antall rette linjer av to familier, og hver linje i den ene av dem vil krysse alle linjene i den andre. Overflater som tilsvarer slike egenskaper kalles styrte; de kan konstrueres ved å rotere én rett linje. Definisjon gjennom gjensidig arrangement av linjer (rettlinjede generatorer) i rommet kan også tjene som en entydig betegnelse på hva en hyperboloid er.
Interessante egenskaper til en hyperboloid
Andreordenskurver og deres korresponderende revolusjonsflater har hver interessante optiske egenskaper assosiert med foci. Når det gjelder en hyperboloid, er dette formulert som følger: hvis en stråle avfyres fra ett fokus, vil den, etter å ha reflektert fra den nærmeste "veggen", ta en slik retning som om den kom fra det andre fokuset.
Hyperboloider i livet
Sansynligvis begynte de fleste lesere å bli kjent med analytisk geometri og andreordens overflater fra en science fiction-roman av Alexei Tolstoy"Hyperboloidingeniør Garin". Imidlertid visste forfatteren selv ikke godt hva en hyperboloid var, eller ofret nøyaktighet for kunstnerskapets skyld: den beskrevne oppfinnelsen, når det gjelder fysiske egenskaper, er snarere en paraboloid som samler alle strålene i ett fokus (mens optiske egenskaper til hyperboloid er assosiert med spredning av stråler).
De såk alte hyperboloidstrukturene er veldig populære i arkitektur: dette er strukturer som har form som en enkeltarks hyperboloid eller en hyperbolsk paraboloid. Faktum er at bare disse omdreiningsflatene av andre orden har rettlinjede generatorer: dermed kan en buet struktur bare bygges fra rette bjelker. Fordelene med slike strukturer er evnen til å tåle tunge belastninger, for eksempel fra vinden: hyperboloidformen brukes i konstruksjonen av høye strukturer, for eksempel TV-tårn.
