Sannsynlighetsteori er en spesiell gren av matematikk, som kun studeres av studenter ved høyere utdanningsinstitusjoner. Elsker du beregninger og formler? Er du ikke redd for utsiktene til å bli kjent med normalfordelingen, ensemblets entropi, den matematiske forventningen og variansen til en diskret tilfeldig variabel? Da vil dette emnet være av stor interesse for deg. La oss bli kjent med noen av de viktigste grunnleggende konseptene i denne delen av vitenskapen.
Husk det grunnleggende
Selv om du husker de enkleste begrepene i sannsynlighetsteori, ikke overse de første avsnittene i artikkelen. Faktum er at uten en klar forståelse av det grunnleggende, vil du ikke kunne jobbe med formlene som er diskutert nedenfor.
Så, det er en tilfeldig hendelse, noe eksperiment. Som et resultat av de utførte handlingene kan vi få flere utfall - noen av dem er mer vanlige, andre mindre vanlige. Sannsynligheten for en hendelse er forholdet mellom antall faktisk mottatte utfall av en type og det totale antallet mulige. Bare ved å kjenne den klassiske definisjonen av dette konseptet, kan du begynne å studere den matematiske forventningen og variansen til kontinuerligtilfeldige variabler.
Aritmetisk gjennomsnitt
Selv på skolen, i matematikktimene, begynte du å jobbe med det aritmetiske gjennomsnittet. Dette konseptet er mye brukt i sannsynlighetsteori, og derfor kan det ikke ignoreres. Hovedsaken for oss for øyeblikket er at vi vil møte den i formlene for den matematiske forventningen og variansen til en tilfeldig variabel.
Vi har en tallrekke og ønsker å finne det aritmetiske gjennomsnittet. Alt som kreves av oss er å summere alt tilgjengelig og dele på antall elementer i sekvensen. La oss ha tall fra 1 til 9. Summen av elementene blir 45, og vi deler denne verdien på 9. Svar: - 5.
Dispersion
Vitenskapelig sett er varians middelkvadraten av avvikene til de oppnådde funksjonsverdiene fra det aritmetiske gjennomsnittet. Den ene er betegnet med en stor latinsk bokstav D. Hva trengs for å beregne den? For hvert element i sekvensen beregner vi forskjellen mellom det tilgjengelige tallet og det aritmetiske gjennomsnittet og kvadrerer det. Det vil være nøyaktig så mange verdier som det kan være utfall for arrangementet vi vurderer. Deretter oppsummerer vi alt mottatt og deler med antall elementer i sekvensen. Hvis vi har fem mulige utfall, del på fem.
Dispersion har også egenskaper du må huske for å bruke det når du løser problemer. For eksempel, hvis den tilfeldige variabelen økes med X ganger, øker variansen med X ganger kvadratet (dvs. XX). Den er aldri mindre enn null og er ikke avhengig avskifter verdier med en lik verdi opp eller ned. For uavhengige forsøk er også variansen av summen lik summen av variansene.
Nå må vi definitivt vurdere eksempler på variansen til en diskret tilfeldig variabel og den matematiske forventningen.
Anta at vi kjørte 21 eksperimenter og fikk 7 forskjellige utfall. Vi observerte hver av dem henholdsvis 1, 2, 2, 3, 4, 4 og 5 ganger. Hva blir avviket?
Først, la oss beregne det aritmetiske gjennomsnittet: summen av elementene er selvfølgelig 21. Del den på 7, få 3. Trekk nå 3 fra hvert tall i den opprinnelige sekvensen, kvadrer hver verdi og legg til resultatene sammen. Det viser seg 12. Nå gjenstår det for oss å dele tallet på antall elementer, og det ser ut til at det er alt. Men det er en hake! La oss diskutere det.
Avhengighet av antall eksperimenter
Det viser seg at når man beregner variansen, kan nevneren være ett av to tall: enten N eller N-1. Her er N antall utførte eksperimenter eller antall elementer i sekvensen (som faktisk er den samme). Hva avhenger det av?
Hvis antall tester er målt i hundrevis, må vi sette N i nevneren, hvis i enheter, så N-1. Forskerne bestemte seg for å tegne grensen ganske symbolsk: i dag går den langs tallet 30. Hvis vi utførte mindre enn 30 eksperimenter, vil vi dele mengden på N-1, og hvis mer, så med N.
Oppgave
La oss gå tilbake til vårt eksempel på å løse varians- og forventningsproblemet. Vifikk et mellomtall på 12, som måtte deles på N eller N-1. Siden vi utførte 21 eksperimenter, som er mindre enn 30, vil vi velge det andre alternativet. Så svaret er: variansen er 12 / 2=2.
Forventning
La oss gå videre til det andre konseptet, som vi må vurdere i denne artikkelen. Den matematiske forventningen er resultatet av å legge til alle mulige utfall multiplisert med de tilsvarende sannsynlighetene. Det er viktig å forstå at den resulterende verdien, så vel som resultatet av beregningen av variansen, kun oppnås én gang for hele oppgaven, uansett hvor mange utfall den vurderer.
Forventningsformelen er ganske enkel: vi tar et utfall, multipliserer det med sannsynligheten, legger til det samme for det andre, tredje resultatet osv. Alt relatert til dette konseptet er enkelt å beregne. For eksempel er summen av matematiske forventninger lik den matematiske forventningen til summen. Det samme gjelder for arbeidet. Ikke alle størrelser i sannsynlighetsteori tillater at slike enkle operasjoner kan utføres. La oss ta en oppgave og beregne verdien av to konsepter vi har studert samtidig. I tillegg ble vi distrahert av teori – det er på tide å øve.
Et annet eksempel
Vi kjørte 50 forsøk og fikk 10 typer utfall - tall fra 0 til 9 - som vises i forskjellige prosenter. Disse er henholdsvis: 2 %, 10 %, 4 %, 14 %, 2 %, 18 %, 6 %, 16 %, 10 %, 18 %. Husk at for å få sannsynlighetene, må du dele prosentverdiene med 100. Dermed får vi 0,02; 0, 1 osv. La oss representere for variansen til en tilfeldigverdi og matematisk forventning eksempel på løsning av problemet.
Regn ut det aritmetiske gjennomsnittet ved å bruke formelen vi husker fra barneskolen: 50/10=5.
La oss nå oversette sannsynlighetene til antall utfall "i stykker" for å gjøre det lettere å telle. Vi får 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 og 9. Trekk det aritmetiske gjennomsnittet fra hver oppnådd verdi, hvoretter vi kvadrerer hvert av de oppnådde resultatene. Se hvordan du gjør dette ved å bruke det første elementet som eksempel: 1 - 5=(-4). Videre: (-4)(-4)=16. For andre verdier, gjør disse operasjonene selv. Hvis du gjorde alt riktig, vil du få 90,
etter å ha lagt til alle mellomresultatene
Fortsett å beregne varians og gjennomsnitt ved å dele 90 på N. Hvorfor velger vi N og ikke N-1? Det stemmer, fordi antall utførte eksperimenter overstiger 30. Altså: 90/10=9. Vi fikk spredningen. Hvis du får et annet nummer, fortvil ikke. Mest sannsynlig gjorde du en banal feil i beregningene. Dobbeltsjekk det du har skrevet, og alt vil sikkert falle på plass.
Til slutt, la oss huske forventningsformelen. Vi vil ikke gi alle beregningene, vi vil bare skrive svaret som du kan sjekke etter å ha fullført alle nødvendige prosedyrer. Forventningen vil være lik 5, 48. Vi husker bare hvordan man utfører operasjoner, ved å bruke eksemplet med de første elementene: 00, 02 + 10, 1… og så videre. Som du kan se multipliserer vi verdien av utfallet med sannsynligheten.
Avvik
Et annet konsept som er nært knyttet til variasjon og forventet verdi erstandardavvik. Det er betegnet enten med de latinske bokstavene sd, eller med den greske små bokstaven "sigma". Dette konseptet viser hvordan verdier i gjennomsnitt avviker fra den sentrale funksjonen. For å finne verdien må du beregne kvadratroten av variansen.
Hvis du bygger en graf av en normalfordeling og ønsker å se verdien av standardavviket direkte på den, kan dette gjøres i flere trinn. Ta halvparten av bildet til venstre eller høyre for modusen (sentral verdi), tegn en vinkelrett på den horisontale aksen slik at arealene til de resulterende figurene er like. Verdien av segmentet mellom midten av fordelingen og den resulterende projeksjonen på den horisontale aksen vil være standardavviket.
Programvare
Som du kan se av beskrivelsene av formlene og eksemplene som er presentert, er ikke beregning av varians og matematisk forventning den enkleste prosedyren fra et aritmetisk synspunkt. For ikke å kaste bort tid, er det fornuftig å bruke programmet som brukes i høyere utdanning - det kalles "R". Den har funksjoner som lar deg beregne verdier for mange konsepter fra statistikk og sannsynlighetsteori.
Du definerer for eksempel en vektor med verdier. Dette gjøres som følger: vektor <-c(1, 5, 2…). Nå, når du trenger å beregne noen verdier for denne vektoren, skriver du en funksjon og gir den som et argument. For å finne variansen, må du bruke var. Et eksempel på hennebruk: var(vektor). Så trykker du bare "enter" og får resultatet.
Avslutningsvis
Varians og matematisk forventning er de grunnleggende begrepene i sannsynlighetsteori, uten hvilke det er vanskelig å beregne noe i fremtiden. I hovedløpet av forelesninger ved universiteter vurderes de allerede i de første månedene av å studere emnet. Det er nettopp på grunn av manglende forståelse for disse enkle begrepene og manglende evne til å beregne dem at mange studenter umiddelbart begynner å falle bak i programmet og senere får dårlige karakterer på slutten av økten, noe som fratar dem stipend.
Øn minst én uke i en halvtime om dagen, og løs problemer som ligner på de som er presentert i denne artikkelen. Så på enhver sannsynlighetsteoritest vil du takle eksempler uten uvedkommende tips og jukseark.
