Matriser: Gauss-metoden. Gauss matriseberegning: Eksempler

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2023-12-17 05:37

Lineær algebra, som undervises på universiteter i ulike spesialiteter, kombinerer mange komplekse emner. Noen av dem er relatert til matriser, så vel som til løsning av systemer med lineære ligninger ved Gauss- og Gauss-Jordan-metodene. Ikke alle elever klarer å forstå disse temaene, algoritmer for å løse ulike problemer. La oss sammen forstå matrisene og metodene til Gauss og Gauss-Jordan.

Grunnleggende konsepter

En matrise i lineær algebra er en rektangulær matrise av elementer (tabell). Nedenfor er sett med elementer i parentes. Dette er matriser. Fra eksemplet ovenfor kan det sees at elementene i rektangulære matriser ikke bare er tall. Matrisen kan bestå av matematiske funksjoner, algebraiske symboler.

For å forstå noen begreper, la oss lage en matrise A fra elementene a_ij. Indekser er ikke bare bokstaver: i er nummeret på raden i tabellen, og j er nummeret på kolonnen, i området for skjæringspunktet for elementeta_ij. Så vi ser at vi har en matrise av elementer som a₁₁, a₂₁, a₁₂, a ₂₂ osv. Bokstaven n angir antall kolonner, og bokstaven m angir antall rader. Symbolet m × n angir dimensjonen til matrisen. Dette er konseptet som definerer antall rader og kolonner i en rektangulær rekke av elementer.

Valgfritt må matrisen ha flere kolonner og rader. Med en dimensjon på 1 × n er matrisen av elementer en rad, og med en dimensjon på m × 1 er den en en-kolonne matrise. Når antall rader og antall kolonner er like, kalles matrisen kvadrat. Hver kvadratisk matrise har en determinant (det A). Dette begrepet refererer til nummeret som er tilordnet matrisen A.

Noen flere viktige konsepter å huske for å lykkes med å løse matriser er hoved- og sekundærdiagonalene. Hoveddiagonalen til en matrise er diagonalen som går ned til høyre hjørne av bordet fra øverste venstre hjørne. Sidediagonalen går til høyre hjørne opp fra venstre hjørne fra bunnen.

Trinnvis matrisevisning

Se på bildet nedenfor. På den vil du se en matrise og et diagram. La oss først behandle matrisen. I lineær algebra kalles en matrise av denne typen en trinnmatrise. Den har én egenskap: hvis a_ij er det første ikke-nullelementet i den i-te raden, så er alle andre elementer fra matrisen under og til venstre for a_ij , er null (dvs. alle de elementene som kan gis bokstavbetegnelsen a_kl, der k>i ogl<j).

Vurder nå diagrammet. Den gjenspeiler den trinnvise formen til matrisen. Opplegget viser 3 typer celler. Hver type angir visse elementer:

• tomme celler - null elementer i matrisen;
• skyggelagte celler er vilkårlige elementer som kan være både null og ikke-null;
• svarte firkanter er ikke-null-elementer, som kalles hjørneelementer, "trinn" (i matrisen vist ved siden av dem er slike elementer tallene –1, 5, 3, 8).

Når man løser matriser, er resultatet noen ganger at "lengden" på trinnet er større enn 1. Dette er tillatt. Bare "høyden" på trinnene betyr noe. I en trinnmatrise må denne parameteren alltid være lik én.

Matrisereduksjon til trinnform

Enhver rektangulær matrise kan konverteres til en trinnvis form. Dette gjøres gjennom elementære transformasjoner. De inkluderer:

• omarrangere strenger;
• Legge til en annen linje til en linje, om nødvendig multiplisert med et tall (du kan også utføre en subtraksjonsoperasjon).

La oss vurdere elementære transformasjoner for å løse et spesifikt problem. Figuren nedenfor viser matrisen A, som må reduseres til en trinnvis form.

For å løse problemet vil vi følge algoritmen:

• Det er praktisk å utføre transformasjoner på en matrise meddet første elementet i øvre venstre hjørne (dvs. det "ledende" elementet) er 1 eller -1. I vårt tilfelle er det første elementet i den øverste raden 2, så la oss bytte den første og andre raden.
• La oss utføre subtraksjonsoperasjoner som påvirker rad 2, 3 og 4. Vi bør få nuller i den første kolonnen under "ledende"-elementet. For å oppnå dette resultatet: fra elementene i linje nr. 2 trekker vi sekvensielt elementene til linje nr. 1, multiplisert med 2; fra elementene i linje nr. 3 trekker vi sekvensielt elementene i linje nr. 1, multiplisert med 4; fra elementene i linje nr. 4 trekker vi sekvensielt elementene til linje nr. 1.
• Deretter vil vi jobbe med en avkortet matrise (uten kolonne 1 og uten rad 1). Det nye "ledende" elementet, som står i skjæringspunktet mellom den andre kolonnen og den andre raden, er lik -1. Det er ikke nødvendig å omorganisere linjene, så vi omskriver den første kolonnen og den første og andre raden uten endringer. La oss utføre subtraksjonsoperasjoner for å få nuller i den andre kolonnen under det "ledende" elementet: fra elementene i den tredje linjen trekker vi sekvensielt elementene i den andre linjen, multiplisert med 3; trekk elementene i den andre linjen multiplisert med 2 fra elementene i den fjerde linjen.
• Det gjenstår å endre den siste linjen. Fra elementene trekker vi suksessivt elementene i den tredje raden. Dermed fikk vi en trinnvis matrise.

Reduksjon av matriser til en trinnform brukes til å løse systemer med lineære ligninger (SLE) ved Gauss-metoden. Før vi ser på denne metoden, la oss forstå noen av begrepene knyttet til SLN.

Matriser og systemer med lineære ligninger

Matriser brukes i ulike vitenskaper. Ved hjelp av talltabeller kan du for eksempel løse lineære ligninger kombinert til et system ved hjelp av Gauss-metoden. La oss først bli kjent med noen få begreper og deres definisjoner, og også se hvordan en matrise dannes fra et system som kombinerer flere lineære ligninger.

SLU – flere kombinerte algebraiske ligninger med ukjente første potens og ingen produkttermer.

SLE-løsning – funnet verdier av ukjente, som erstatter likningene i systemet til identiteter.

En felles SLE er et ligningssystem som har minst én løsning.

Inconsistent SLE er et system av ligninger som ikke har noen løsninger.

Hvordan dannes en matrise basert på et system som kombinerer lineære ligninger? Det er slike konsepter som hoved- og utvidede matriser i systemet. For å få hovedmatrisen til systemet, er det nødvendig å sette inn alle koeffisientene for de ukjente i tabellen. Den utvidede matrisen oppnås ved å legge til en kolonne med frie termer til hovedmatrisen (den inkluderer kjente elementer som hver ligning i systemet er likestilt med). Du kan forstå hele denne prosessen ved å studere bildet nedenfor.

Det første vi ser på bildet er et system som inkluderer lineære ligninger. Dens elementer: a_ij – numeriske koeffisienter, x_j – ukjente verdier, b_i – konstante ledd (hvor i=1, 2, …, m og j=1, 2, …, n). Det andre elementet i bildet er hovedmatrisen av koeffisienter. Fra hver ligning skrives koeffisientene på rad. Som et resultat er det like mange rader i matrisen som det er ligninger i systemet. Antall kolonner er lik det største antallet koeffisienter i en ligning. Det tredje elementet i bildet er en utvidet matrise med en kolonne med frie termer.

Generell informasjon om Gauss-metoden

I lineær algebra er Gauss-metoden den klassiske måten å løse SLE på. Den bærer navnet til Carl Friedrich Gauss, som levde på 1700- og 1800-tallet. Dette er en av tidenes største matematikere. Essensen av Gauss-metoden er å utføre elementære transformasjoner på et system av lineære algebraiske ligninger. Ved hjelp av transformasjoner reduseres SLE til et ekvivalent system av en trekantet (trinn) form, hvorfra alle variabler kan finnes.

Det er verdt å merke seg at Carl Friedrich Gauss ikke er oppdageren av den klassiske metoden for å løse et system med lineære ligninger. Metoden ble oppfunnet mye tidligere. Den første beskrivelsen finnes i leksikonet om kunnskap til gamle kinesiske matematikere, k alt "Matematikk i 9 bøker".

Et eksempel på å løse SLE med Gauss-metoden

La oss vurdere løsningen av systemer ved Gauss-metoden på et spesifikt eksempel. Vi vil jobbe med SLU vist på bildet.

Løsningsalgoritme:

1. Vi vil redusere systemet til en trinnform ved direkte flytting av Gauss-metoden, men førstvi vil komponere en utvidet matrise av numeriske koeffisienter og gratis medlemmer.
2. For å løse matrisen ved hjelp av Gauss-metoden (dvs. bringe den til en trinnvis form), fra elementene i den andre og tredje raden, trekker vi sekvensielt elementene i den første raden. Vi får nuller i første kolonne under elementet "ledende". Deretter vil vi endre den andre og tredje linjen på steder for enkelhets skyld. Til elementene i den siste raden, legg til elementene i den andre raden i rekkefølge, multiplisert med 3.
3. Som et resultat av beregningen av matrisen ved Gauss-metoden, fikk vi en trinnvis oppstilling av elementer. Basert på det skal vi komponere et nytt system med lineære ligninger. Ved omvendt kurs av Gauss-metoden finner vi verdiene til de ukjente begrepene. Det kan sees fra den siste lineære ligningen at x₃ er lik 1. Vi erstatter denne verdien i den andre linjen i systemet. Du får ligningen x₂ – 4=–4. Det følger at x₂ er lik 0. Bytt inn x₂ og x₃ i den første ligningen i systemet: x1 _{+ 0 +3=2. Den ukjente termen er -1.}

Svar: ved å bruke matrisen, Gauss-metoden, fant vi verdiene til de ukjente; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

Gauss-Jordan-metoden

I lineær algebra er det også noe som heter Gauss-Jordan-metoden. Det regnes som en modifikasjon av Gauss-metoden og brukes til å finne den inverse matrisen, beregne ukjente termer av kvadratiske systemer med algebraiske lineære ligninger. Gauss-Jordan-metoden er praktisk ved at den tillater å løse SLE i ett trinn (uten bruk av direkte og inverstrekk).

La oss starte med begrepet "invers matrise". Anta at vi har en matrise A. Inversen for den vil være matrisen A^-1, mens betingelsen nødvendigvis er oppfylt: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, dvs. produktet av disse matrisene er lik identitetsmatrisen (elementene i hoveddiagonalen til identitetsmatrisen er enere, og de gjenværende elementene er null).}

En viktig nyanse: i lineær algebra er det et teorem om eksistensen av en invers matrise. En tilstrekkelig og nødvendig betingelse for eksistensen av matrisen A^-1 er at matrisen A er ikke-singular.

Grunnleggende trinn som Gauss-Jordan-metoden er basert på:

1. Se på den første raden i en bestemt matrise. Gauss-Jordan-metoden kan startes hvis den første verdien ikke er lik null. Hvis førsteplassen er 0, bytt radene slik at det første elementet har en verdi som ikke er null (det er ønskelig at tallet er nærmere én).
2. Del alle elementene i den første raden med det første tallet. Du vil ende opp med en streng som begynner med én.
3. Fra den andre linjen, trekk den første linjen multiplisert med det første elementet i den andre linjen, dvs. til slutt vil du få en linje som starter fra null. Gjør det samme for resten av linjene. Del hver linje med det første elementet som ikke er null for å få 1-tallet diagon alt.
4. Som et resultat vil du få den øvre trekantede matrisen ved å bruke Gauss - Jordan-metoden. I den er hoveddiagonalen representert av enheter. Det nederste hjørnet er fylt med nuller, ogøvre hjørne - ulike verdier.
5. Fra den nest siste linjen, trekk den siste linjen multiplisert med den nødvendige koeffisienten. Du bør få en streng med nuller og en. For resten av linjene, gjenta den samme handlingen. Etter alle transformasjonene vil identitetsmatrisen fås.

Et eksempel på å finne den inverse matrisen ved å bruke Gauss-Jordan-metoden

For å beregne den inverse matrisen, må du skrive den utvidede matrisen A|E og utføre de nødvendige transformasjonene. La oss vurdere et enkelt eksempel. Figuren nedenfor viser matrisen A.

Løsning:

1. Først, la oss finne matrisedeterminanten ved å bruke Gauss-metoden (det A). Hvis denne parameteren ikke er lik null, vil matrisen bli ansett som ikke-singular. Dette vil tillate oss å konkludere med at A definitivt har A^-1. For å beregne determinanten transformerer vi matrisen til en trinnvis form ved elementære transformasjoner. La oss telle tallet K lik antall radpermutasjoner. Vi endret linjene kun 1 gang. La oss beregne determinanten. Verdien vil være lik produktet av elementene i hoveddiagonalen, multiplisert med (–1)^K. Beregningsresultat: det A=2.
2. Komponer den utvidede matrisen ved å legge til identitetsmatrisen til den opprinnelige matrisen. Den resulterende matrisen av elementer vil bli brukt til å finne den inverse matrisen ved hjelp av Gauss-Jordan-metoden.
3. Det første elementet i den første raden er lik én. Dette passer oss, fordi det ikke er nødvendig å omorganisere linjene og dele den gitte linjen med et eller annet tall. La oss begynne å jobbemed andre og tredje linje. For å gjøre det første elementet i den andre raden til 0, trekk fra den andre raden den første raden multiplisert med 3. Trekk den første raden fra den tredje raden (ingen multiplikasjon nødvendig).
4. I den resulterende matrisen er det andre elementet i den andre raden -4, og det andre elementet i den tredje raden er -1. La oss bytte linjene for enkelhets skyld. Fra den tredje raden trekkes den andre raden multiplisert med 4. Del den andre raden med -1 og den tredje raden med 2. Vi får den øvre trekantmatrisen.
5. La oss trekke den siste linjen multiplisert med 4 fra den andre linjen, og den siste linjen multiplisert med 5 fra den første linjen. Deretter trekker du den andre linjen multiplisert med 2 fra den første linjen. På venstre side fikk vi identitetsmatrisen. Til høyre er den inverse matrisen.

Et eksempel på å løse SLE ved hjelp av Gauss-Jordan-metoden

Figuren viser et system med lineære ligninger. Det kreves å finne verdiene til ukjente variabler ved å bruke en matrise, Gauss-Jordan-metoden.

Løsning:

1. La oss lage en utvidet matrise. For å gjøre dette legger vi koeffisientene og frie termer i tabellen.
2. Løs matrisen ved å bruke Gauss-Jordan-metoden. Fra linje nr. 2 trekker vi linje nr. 1. Fra linje nr. 3 trekker vi linje nr. 1, tidligere multiplisert med 2.
3. Bytt rad 2 og 3.
4. Fra linje 3 trekker du linje 2 multiplisert med 2. Del den resulterende tredje linjen med –1.
5. Strekk linje 3 fra linje 2.
6. Strek linje 1 fra linje 12 ganger -1. På siden fikk vi en kolonne som består av tallene 0, 1 og -1. Fra dette konkluderer vi med at x₁=0, x₂=1 og x₃ =–1.

Hvis du ønsker det, kan du sjekke riktigheten av løsningen ved å erstatte de beregnede verdiene i ligningene:

• 0 – 1=–1, den første identiteten fra systemet er korrekt;
• 0 + 1 + (–1)=0, den andre identiteten fra systemet er korrekt;
• 0 – 1 + (–1)=–2, den tredje identiteten fra systemet er korrekt.

Konklusjon: ved hjelp av Gauss-Jordan-metoden har vi funnet den riktige løsningen på et kvadratisk system som kombinerer lineære algebraiske ligninger.

Nettkalkulatorer

Livet til dagens ungdom som studerer ved universiteter og studerer lineær algebra, har blitt kraftig forenklet. For noen år siden måtte vi finne løsninger på systemer med Gauss og Gauss-Jordan metoden på egenhånd. Noen elever klarte oppgavene, mens andre ble forvirret i løsningen, gjorde feil, ba klassekamerater om hjelp. I dag kan du bruke nettkalkulatorer når du gjør lekser. For å løse systemer med lineære ligninger, søk etter inverse matriser, er det skrevet programmer som ikke bare viser de riktige svarene, men også viser fremdriften for å løse et bestemt problem.

Det er mange ressurser på Internett med innebygde kalkulatorer på nettet. Gaussiske matriser, ligningssystemer løses av disse programmene på noen få sekunder. Studentene trenger bare å spesifisere de nødvendige parameterne (for eksempel antall ligninger,antall variabler).