Et mekanisk system som består av et materialpunkt (kropp) som henger på en uutvidelig vektløs tråd (massen er ubetydelig sammenlignet med vekten av kroppen) i et jevnt gravitasjonsfelt kalles en matematisk pendel (et annet navn er en oscillator). Det finnes andre typer av denne enheten. I stedet for en tråd kan en vektløs stang brukes. En matematisk pendel kan tydelig avsløre essensen av mange interessante fenomener. Med en liten oscillasjonsamplitude kalles bevegelsen harmonisk.
Mekanisk systemoversikt
Formelen for oscillasjonsperioden til denne pendelen ble utledet av den nederlandske forskeren Huygens (1629-1695). Denne samtidige av I. Newton var veldig glad i dette mekaniske systemet. I 1656 skapte han det første pendeluret. De målte tid med eksepsjonellfor den tidens nøyaktighet. Denne oppfinnelsen har blitt en viktig milepæl i utviklingen av fysiske eksperimenter og praktiske aktiviteter.
Hvis pendelen er i likevekt (henger vertik alt), vil tyngdekraften balanseres av kraften fra trådspenningen. En flat pendel på en ikke-utvidbar tråd er et system med to frihetsgrader med en forbindelse. Når du endrer bare én komponent, endres egenskapene til alle delene. Så hvis tråden erstattes av en stang, vil dette mekaniske systemet bare ha 1 grad av frihet. Hva er egenskapene til en matematisk pendel? I dette enkleste systemet oppstår kaos under påvirkning av en periodisk forstyrrelse. I tilfellet når opphengspunktet ikke beveger seg, men svinger, har pendelen en ny likevektsposisjon. Med raske opp- og nedsvingninger får dette mekaniske systemet en stabil opp-ned-posisjon. Hun har også sitt eget navn. Den kalles Kapitzas pendel.
Pendulum properties
Matematisk pendel har veldig interessante egenskaper. Alle av dem er bekreftet av kjente fysiske lover. Svingningsperioden til en hvilken som helst annen pendel avhenger av forskjellige omstendigheter, som kroppens størrelse og form, avstanden mellom opphengspunktet og tyngdepunktet, massefordelingen i forhold til dette punktet. Derfor er det en ganske vanskelig oppgave å bestemme perioden for en hengende kropp. Det er mye lettere å beregne perioden til en matematisk pendel, hvis formel vil bli gitt nedenfor. Som et resultat av observasjoner av lignendemekaniske systemer kan etablere følgende mønstre:
• Hvis vi, mens vi opprettholder samme lengde på pendelen, henger forskjellige vekter, vil perioden for svingningene deres være den samme, selv om massene deres vil variere sterkt. Derfor avhenger ikke perioden for en slik pendel av massen til lasten.
• Når du starter systemet, hvis pendelen avbøyes med ikke for store, men forskjellige vinkler, vil den begynne å svinge med samme periode, men med forskjellige amplituder. Så lenge avvikene fra likevektssenteret ikke er for store, vil svingningene i deres form være ganske nær harmoniske. Perioden til en slik pendel avhenger ikke på noen måte av oscillasjonsamplituden. Denne egenskapen til dette mekaniske systemet kalles isokronisme (oversatt fra gresk "chronos" - tid, "isos" - lik).
Periode av den matematiske pendelen
Denne indikatoren representerer perioden med naturlige svingninger. Til tross for den komplekse formuleringen er selve prosessen veldig enkel. Hvis lengden på tråden til en matematisk pendel er L, og akselerasjonen av fritt fall er g, så er denne verdien:
T=2π√L/g
Perioden med små naturlige svingninger avhenger på ingen måte av pendelens masse og amplituden til svingningene. I dette tilfellet beveger pendelen seg som en matematisk pendel med redusert lengde.
Svinger i den matematiske pendelen
En matematisk pendel svinger, som kan beskrives med en enkel differensialligning:
x + ω2 sin x=0, hvor x (t) er en ukjent funksjon (dette er vinkelen på avviket fra den nedrelikevektsposisjon ved tidspunkt t, uttrykt i radianer); ω er en positiv konstant, som bestemmes fra parametrene til pendelen (ω=√g/L, hvor g er akselerasjonen for fritt fall og L er lengden på den matematiske pendelen (suspensjon).
Likningen for små fluktuasjoner nær likevektsposisjonen (harmonisk ligning) ser slik ut:
x + ω2 sin x=0
pendelens oscillerende bevegelser
En matematisk pendel som får små svingninger til å bevege seg langs en sinusform. Andreordens differensialligning oppfyller alle kravene og parametrene til en slik bevegelse. For å bestemme banen må du spesifisere hastigheten og koordinaten, som uavhengige konstanter deretter bestemmes fra:
x=En synd (θ0 + ωt), hvor θ0 er startfasen, A er oscillasjonsamplituden, ω er den sykliske frekvensen bestemt fra bevegelsesligningen.
Matematisk pendel (formler for store amplituder)
Dette mekaniske systemet, som lager svingninger med en betydelig amplitude, adlyder mer komplekse bevegelseslover. For en slik pendel beregnes de med formelen:
sin x/2=usn(ωt/u), hvor sn er Jacobisinus, som for u < 1 er en periodisk funksjon, og for liten u sammenfaller den med en enkel trigonometrisk sinus. Verdien av u bestemmes av følgende uttrykk:
u=(ε + ω2)/2ω2, hvor ε=E/mL2 (mL2 er energien til pendelen).
Bestemme svingeperioden til en ikke-lineær pendelutføres i henhold til formelen:
T=2π/Ω, hvor Ω=π/2ω/2K(u), K er det elliptiske integralet, π - 3, 14.
Bevegelse av pendelen langs separatrix
En separatrix er en bane av et dynamisk system med et todimensjon alt faserom. Den matematiske pendelen beveger seg langs den ikke-periodisk. På et uendelig fjernt tidspunkt faller den fra den ekstreme øvre posisjonen til siden med null hastighet, og plukker den deretter gradvis opp. Den stopper til slutt og går tilbake til sin opprinnelige posisjon.
Hvis amplituden til pendelens oscillasjoner nærmer seg tallet π, indikerer dette at bevegelsen på faseplanet nærmer seg separatrixen. I dette tilfellet, under påvirkning av en liten periodisk drivkraft, viser det mekaniske systemet kaotisk oppførsel.
Når den matematiske pendelen avviker fra likevektsposisjonen med en viss vinkel φ, oppstår en tangentiell tyngdekraft Fτ=–mg sin φ. Minustegnet betyr at denne tangentielle komponenten er rettet i motsatt retning fra pendelavbøyningen. Når forskyvningen av pendelen langs sirkelbuen med radius L er betegnet med x, er dens vinkelforskyvning lik φ=x/L. Den andre loven til Isaac Newton, designet for projeksjoner av akselerasjonsvektoren og kraften, vil gi ønsket verdi:
mg τ=Fτ=–mg sin x/L
Basert på dette forholdet er det klart at denne pendelen er et ikke-lineært system, siden kraften som søker å returnereden til likevektsposisjonen, er alltid proporsjonal ikke med forskyvningen x, men til sin x/L.
Bare når den matematiske pendelen lager små svingninger, er den en harmonisk oscillator. Med andre ord blir det et mekanisk system som er i stand til å utføre harmoniske vibrasjoner. Denne tilnærmingen er praktisk t alt gyldig for vinkler på 15–20°. Pendelsvingninger med store amplituder er ikke harmoniske.
Newtons lov for små oscillasjoner av en pendel
Hvis dette mekaniske systemet utfører små vibrasjoner, vil Newtons andre lov se slik ut:
mg τ=Fτ=–m g/L x.
Basert på dette kan vi konkludere med at den tangentielle akselerasjonen til den matematiske pendelen er proporsjonal med dens forskyvning med et minustegn. Dette er tilstanden som gjør at systemet blir en harmonisk oscillator. Modulen til proporsjonal forsterkning mellom forskyvning og akselerasjon er lik kvadratet på den sirkulære frekvensen:
ω02=g/L; ω0=√ g/L.
Denne formelen gjenspeiler den naturlige frekvensen til små oscillasjoner av denne typen pendel. Basert på dette, T=2π/ ω0=2π√ g/L.
Beregninger basert på loven om bevaring av energi
Egenskapene til pendelens oscillerende bevegelser kan også beskrives ved å bruke loven om energibevaring. I dette tilfellet bør det tas i betraktning at den potensielle energien til pendelen i gravitasjonsfeltet er:
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
Total mekanisk energitilsvarer kinetisk eller maksim alt potensial: Epmax=Ekmsx=E
Etter at loven om bevaring av energi er skrevet, ta den deriverte av høyre og venstre side av ligningen:
Ep + Ek=const
Siden den deriverte av konstante verdier er 0, er (Ep + Ek)'=0. Den deriverte av summen er lik summen av de deriverte:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv α, derav:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m α)=0.
Basert på den siste formelen finner vi: α=- g/Lx.
Praktisk anvendelse av den matematiske pendelen
akselerasjonen av fritt fall varierer med geografisk breddegrad, siden tettheten av jordskorpen over hele planeten ikke er den samme. Der bergarter med høyere tetthet forekommer, vil det være noe høyere. Akselerasjonen til en matematisk pendel brukes ofte til geologisk utforskning. Den brukes til å søke etter ulike mineraler. Bare ved å telle antall svingninger av pendelen, kan du finne kull eller malm i innvollene på jorden. Dette skyldes det faktum at slike fossiler har en tetthet og masse større enn de løse bergartene som ligger under dem.
Den matematiske pendelen ble brukt av så fremtredende forskere som Sokrates, Aristoteles, Platon, Plutarch, Arkimedes. Mange av dem trodde at dette mekaniske systemet kunne påvirke skjebnen og livet til en person. Arkimedes brukte en matematisk pendel i sine beregninger. I dag er det mange okkultister og synskebruk dette mekaniske systemet til å oppfylle profetiene deres eller søke etter savnede personer.
Den berømte franske astronomen og naturforskeren K. Flammarion brukte også en matematisk pendel for sin forskning. Han hevdet at han med sin hjelp var i stand til å forutsi oppdagelsen av en ny planet, utseendet til Tunguska-meteoritten og andre viktige hendelser. Under andre verdenskrig i Tyskland (Berlin) arbeidet et spesialisert Pendelinstitutt. I dag er München-instituttet for parapsykologi engasjert i lignende forskning. De ansatte ved denne institusjonen kaller arbeidet sitt med pendelen «radiesthesia».
