Prism er et polyeder eller polyeder, som studeres i skolekurset solid geometri. En av de viktige egenskapene til dette polyederet er volumet. La oss vurdere i artikkelen hvordan denne verdien kan beregnes, og også gi formlene for volumet av prismer - regulære firkantede og sekskantede.
Prism i stereometri
Denne figuren forstås som et polyeder, som består av to identiske polygoner plassert i parallelle plan, og av flere parallellogrammer. For visse typer prismer kan parallellogrammer representere rektangulære firkanter eller firkanter. Nedenfor er et eksempel på et såk alt femkantet prisme.
For å bygge en figur som i figuren over, må du ta en femkant og utføre dens parallelle overføring til en viss avstand i rommet. Ved å koble sammen sidene av to femkanter ved hjelp av parallellogrammer, får vi ønsket prisme.
Hvert prisme består av flater, topper og kanter. Toppene til prismeti motsetning til pyramiden, er like, refererer hver av dem til en av de to basene. Overflater og kanter er av to typer: de som hører til basene og de som hører til sidene.
Prismer er av flere typer (korrekte, skrå, konvekse, rette, konkave). La oss vurdere senere i artikkelen med hvilken formel volumet til et prisme beregnes, med tanke på formen på figuren.
Generelt uttrykk for å bestemme volumet til et prisme
Uavhengig av hvilken type figuren som studeres tilhører, enten den er rett eller skrå, regelmessig eller uregelmessig, finnes det et universelt uttrykk som lar deg bestemme volumet. Volumet til en romlig figur er området av rom som er innelukket mellom ansiktene. Den generelle formelen for volumet til et prisme er:
V=So × h.
Her representerer So arealet av basen. Det skal huskes at vi snakker om ett grunnlag, og ikke om to. h-verdien er høyden. Høyden på figuren som studeres, forstås som avstanden mellom dens identiske baser. Hvis denne avstanden faller sammen med lengdene på sideribbene, så snakker man om et rett prisme. I en rett figur er alle sidene rektangler.
Derfor, hvis et prisme er skrått og har en uregelmessig basispolygon, blir det mer komplisert å beregne volumet. Hvis figuren er rett, reduseres beregningen av volumet bare til å bestemme arealet av basen So.
Bestemme volumet til en vanlig figur
Regular er ethvert prisme som er rett og har en polygonal base med sider og vinkler lik hverandre. For eksempel er slike regulære polygoner en firkant og en likesidet trekant. Samtidig er ikke en rombe en vanlig figur, siden ikke alle vinklene er like.
Formelen for volumet til et regulært prisme følger entydig av det generelle uttrykket for V, som ble skrevet i forrige avsnitt av artikkelen. Før du fortsetter med å skrive den tilsvarende formelen, er det nødvendig å bestemme arealet av den riktige basen. Uten å gå inn på matematiske detaljer, presenterer vi formelen for å bestemme det angitte området. Den er universell for enhver vanlig n-gon og har følgende form:
S=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Som du kan se av uttrykket, er området Sn en funksjon av to parametere. Et heltall n kan ta verdier fra 3 til uendelig. Verdien a er lengden på siden av n-gonen.
For å beregne volumet til en figur, er det bare nødvendig å multiplisere arealet S med høyden h eller med lengden på sidekanten b (h=b). Som et resultat kommer vi frem til følgende arbeidsformel:
V=n / 4 × ctg (pi / n) × a2 × h.
Merk at for å bestemme volumet til et prisme av en vilkårlig type, må du kjenne til flere størrelser (lengder på sidene av basen, høyde, dihedriske vinkler på figuren), men for å beregne verdien V av et vanlig prisme trenger vi bare å kjenne to lineære parametere, for eksempel a og h.
Volumet til et firkantet regulært prisme
Et firkantet prisme kalles et parallellepiped. Hvis alle ansiktene er like og er firkanter, vil en slik figur være en kube. Hver elev vet at volumet til et rektangulært parallellepiped eller terning bestemmes ved å multiplisere de tre forskjellige sidene (lengde, høyde og bredde). Dette faktum følger av det skriftlige generelle volumuttrykket for en vanlig figur:
V=n/4 × ctg (pi / n) × a2 × h=4/4 × ctg (pi / 4) × a2× h=a2 × h.
Her er cotangensen på 45° lik 1. Merk at likheten mellom høyden h og lengden på siden av basen a automatisk fører til formelen for volumet til en terning.
Volum av sekskantet regulært prisme
Bruk nå teorien ovenfor for å bestemme volumet til en figur med en sekskantet base. For å gjøre dette trenger du bare å erstatte verdien n=6 i formelen:
V=6/4 × ctg (pi / 6) × a2 × h=3 × √3/2 × a2 × t.
Det skriftlige uttrykket kan oppnås uavhengig uten å bruke den universelle formelen for S. For å gjøre dette må du dele den vanlige sekskanten i seks likesidede trekanter. Siden av hver av dem vil være lik a. Arealet til en trekant tilsvarer:
S3=√3/4 × a2.
Ved å multiplisere denne verdien med antall trekanter (6) og med høyden får vi formelen ovenfor for volumet.
