Fourier-transformasjon er en transformasjon som sammenligner funksjonene til en reell variabel. Denne operasjonen utføres hver gang vi oppfatter forskjellige lyder. Øret utfører en automatisk "beregning", som vår bevissthet er i stand til å utføre bare etter å ha studert den tilsvarende delen av høyere matematikk. Det menneskelige høreorganet bygger en transformasjon, som et resultat av hvilken lyd (oscillerende bevegelse av betingede partikler i et elastisk medium som forplanter seg i en bølgeform i et fast, flytende eller gassformet medium) tilveiebringes i form av et spektrum av suksessive verdier av volumnivået til toner i forskjellige høyder. Etter det gjør hjernen denne informasjonen til en lyd som er kjent for alle.
matematisk Fourier-transform
Transformasjon av lydbølger eller andre oscillerende prosesser (fra lysstråling og havflod til sykluser av stjerne- eller solaktivitet) kan også utføres ved hjelp av matematiske metoder. Så ved å bruke disse teknikkene er det mulig å dekomponere funksjoner ved å representere oscillerende prosesser som et sett med sinusformede komponenter, det vil si bølgete kurver somgå fra lav til høy, så tilbake til lav, som en havbølge. Fouriertransformasjon - en transformasjon hvis funksjon beskriver fasen eller amplituden til hver sinusoid som tilsvarer en viss frekvens. Fasen er startpunktet for kurven, og amplituden er høyden.
Fourier-transformasjonen (eksempler er vist på bildet) er et veldig kraftig verktøy som brukes innen ulike vitenskapsfelt. I noen tilfeller brukes det som et middel til å løse ganske komplekse ligninger som beskriver dynamiske prosesser som skjer under påvirkning av lys, termisk eller elektrisk energi. I andre tilfeller lar den deg bestemme de vanlige komponentene i komplekse oscillerende signaler, takket være hvilke du kan tolke forskjellige eksperimentelle observasjoner i kjemi, medisin og astronomi riktig.
Historisk bakgrunn
Den første personen som brukte denne metoden var den franske matematikeren Jean Baptiste Fourier. Transformasjonen, senere oppk alt etter ham, ble opprinnelig brukt til å beskrive mekanismen for varmeledning. Fourier brukte hele sitt voksne liv på å studere varmes egenskaper. Han ga et stort bidrag til den matematiske teorien om å bestemme røttene til algebraiske ligninger. Fourier var professor i analyse ved Polytechnic School, sekretær ved Institute of Egyptology, var i den keiserlige tjenesten, hvor han utmerket seg under byggingen av veien til Torino (under hans ledelse, mer enn 80 tusen kvadratkilometer med malariasumper). Men all denne kraftige aktiviteten hindret ikke forskeren i å gjøre matematisk analyse. I 1802 utledet han en ligning som beskriver forplantningen av varme i faste stoffer. I 1807 oppdaget forskeren en metode for å løse denne ligningen, som ble k alt "Fourier-transformasjonen".
Termisk konduktivitetsanalyse
Vitenskapsmannen brukte en matematisk metode for å beskrive mekanismen for varmeledning. Et praktisk eksempel, der det ikke er noen vanskeligheter med å beregne, er forplantningen av termisk energi gjennom en jernring, en del nedsenket i ild. For å utføre eksperimenter varmet Fourier opp en del av denne ringen rødglødende og begravde den i fin sand. Etter det tok han temperaturmålinger på motsatt side av den. Til å begynne med er varmefordelingen uregelmessig: en del av ringen er kald og den andre er varm, og en skarp temperaturgradient kan observeres mellom disse sonene. Men i prosessen med varmeforplantning over hele overflaten av metallet, blir det mer ensartet. Så snart tar denne prosessen form av en sinusoid. Til å begynne med øker grafen jevnt og avtar også jevnt, nøyaktig i henhold til lovene for endring av cosinus- eller sinusfunksjonen. Bølgen jevner seg gradvis ut og som et resultat blir temperaturen den samme på hele overflaten av ringen.
Forfatteren av denne metoden foreslo at den initiale uregelmessige distribusjonen kan dekomponeres til en serie med elementære sinusoider. Hver av dem vil ha sin egen fase (utgangsposisjon) og sin egen temperaturmaksimum. I tillegg endres hver slik komponent fra et minimum til et maksimum og tilbake på en fullstendig omdreining rundt ringen et helt antall ganger. En komponent med en periode ble k alt den grunnleggende harmoniske, og en verdi med to eller flere perioder ble k alt den andre, og så videre. Så den matematiske funksjonen som beskriver temperaturmaksimum, fase eller posisjon kalles Fourier-transformasjonen av fordelingsfunksjonen. Forskeren reduserte en enkelt komponent, som er vanskelig å beskrive matematisk, til et brukervennlig verktøy - cosinus- og sinusseriene, som summeres til å gi den opprinnelige fordelingen.
essensen av analysen
Ved å bruke denne analysen på transformasjonen av forplantningen av varme gjennom et fast objekt som har en ringformet form, resonnerte matematikeren at å øke periodene til den sinusformede komponenten ville føre til dens raske forfall. Dette sees tydelig i de grunnleggende og andre harmoniske. I sistnevnte når temperaturen maksimums- og minimumsverdiene to ganger i en omgang, og i førstnevnte bare en gang. Det viser seg at avstanden dekket av varme i den andre harmoniske vil være halvparten av den i den viktigste. I tillegg vil gradienten i den andre også være dobbelt så bratt som i den første. Derfor, siden den mer intense varmestrømmen reiser en avstand dobbelt så kort, vil denne harmoniske avta fire ganger raskere enn den fundamentale som en funksjon av tid. I fremtiden vil denne prosessen gå enda raskere. Matematikeren mente at denne metoden lar deg beregne prosessen med den innledende fordelingen av temperatur over tid.
Utfordring til samtid
Fourier-transformasjonsalgoritmen utfordret den tidens teoretiske grunnlag for matematikk. På begynnelsen av det nittende århundre godtok ikke de fleste fremtredende forskere, inkludert Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre og Biot, hans uttalelse om at den innledende temperaturfordelingen er dekomponert i komponenter i form av en grunnleggende harmonisk og høyere frekvenser. Imidlertid kunne Vitenskapsakademiet ikke ignorere resultatene oppnådd av matematikeren, og tildelte ham en pris for teorien om lovene for varmeledning, samt sammenligne det med fysiske eksperimenter. I Fouriers tilnærming var hovedinnvendingen det faktum at den diskontinuerlige funksjonen er representert ved summen av flere sinusformede funksjoner som er kontinuerlige. De beskriver tross alt revet rette og buede linjer. Samtidige til forskeren møtte aldri en lignende situasjon, da diskontinuerlige funksjoner ble beskrevet av en kombinasjon av kontinuerlige funksjoner, for eksempel kvadratisk, lineær, sinusformet eller eksponentiell. I tilfelle matematikeren hadde rett i sine uttalelser, bør summen av en uendelig rekke av en trigonometrisk funksjon reduseres til en nøyaktig trinnvis. På den tiden virket en slik uttalelse absurd. Men til tross for tvil, har noen forskere (f.eks. Claude Navier, Sophie Germain) utvidet omfanget av forskning og tatt dem utover analysen av fordelingen av termisk energi. I mellomtiden fortsatte matematikere å streve med spørsmålet om summen av flere sinusformede funksjoner kan reduseres til en nøyaktig representasjon av en diskontinuerlig.
200 år gammelhistorie
Denne teorien har utviklet seg over to århundrer, i dag har den endelig dannet seg. Med sin hjelp er romlige eller tidsmessige funksjoner delt inn i sinusformede komponenter, som har sin egen frekvens, fase og amplitude. Denne transformasjonen oppnås ved to forskjellige matematiske metoder. Den første av dem brukes når den opprinnelige funksjonen er kontinuerlig, og den andre - når den er representert av et sett med diskrete individuelle endringer. Hvis uttrykket er hentet fra verdier som er definert av diskrete intervaller, kan det deles inn i flere sinusformede uttrykk med diskrete frekvenser - fra den laveste og deretter to ganger, tre ganger og så videre høyere enn den viktigste. En slik sum kalles Fourier-serien. Hvis det initiale uttrykket gis en verdi for hvert reelt tall, kan det dekomponeres i flere sinusformede frekvenser med alle mulige frekvenser. Det kalles vanligvis Fourier-integralet, og løsningen innebærer integrale transformasjoner av funksjonen. Uavhengig av hvordan konverteringen oppnås, må to tall angis for hver frekvens: amplitude og frekvens. Disse verdiene er uttrykt som et enkelt komplekst tall. Teorien om uttrykk for komplekse variabler, sammen med Fourier-transformasjonen, gjorde det mulig å utføre beregninger i design av ulike elektriske kretser, analyse av mekaniske vibrasjoner, studiet av mekanismen for bølgeutbredelse og mer.
Fourier Transform Today
I dag er studiet av denne prosessen hovedsakelig redusert til å finne effektivovergangsmetoder fra en funksjon til dens transformerte form og omvendt. Denne løsningen kalles den direkte og inverse Fourier-transformasjonen. Hva betyr det? For å bestemme integralet og produsere en direkte Fourier-transformasjon kan man bruke matematiske metoder, eller analytiske. Til tross for at det oppstår visse vanskeligheter ved bruk av dem i praksis, er de fleste integraler allerede funnet og inkludert i matematiske oppslagsverk. Numeriske metoder kan brukes til å beregne uttrykk hvis form er basert på eksperimentelle data, eller funksjoner hvis integraler ikke er tilgjengelige i tabeller og er vanskelige å presentere i analytisk form.
Før fremkomsten av datamaskiner var beregningene av slike transformasjoner veldig kjedelige, de krevde manuell utførelse av et stort antall aritmetiske operasjoner, som var avhengig av antall punkter som beskrev bølgefunksjonen. For å lette beregningene finnes det i dag spesielle programmer som har gjort det mulig å implementere nye analysemetoder. Så i 1965 skapte James Cooley og John Tukey programvare som ble kjent som "Fast Fourier Transform". Den lar deg spare tid for beregninger ved å redusere antall multiplikasjoner i analysen av kurven. Den raske Fourier-transformasjonsmetoden er basert på å dele kurven i et stort antall ensartede prøveverdier. Følgelig halveres antall multiplikasjoner med samme reduksjon i antall poeng.
Applying Fourier-transformasjonen
Detteprosessen brukes innen ulike vitenskapsfelt: innen tallteori, fysikk, signalbehandling, kombinatorikk, sannsynlighetsteori, kryptografi, statistikk, oseanologi, optikk, akustikk, geometri og andre. De rike mulighetene for applikasjonen er basert på en rekke nyttige funksjoner, som kalles "Fourier-transformegenskaper". Vurder dem.
1. Funksjonstransformasjonen er en lineær operator og, med passende normalisering, er den enhetlig. Denne egenskapen er kjent som Parsevals teorem, eller generelt Plancherel-teoremet, eller Pontryagins dualisme.
2. Transformasjonen er reversibel. Dessuten har det omvendte resultatet nesten samme form som i den direkte løsningen.
3. Sinusformede baseuttrykk er egne differensierte funksjoner. Dette betyr at en slik representasjon endrer lineære ligninger med konstant koeffisient til vanlige algebraiske.
4. I følge "convolution"-teoremet gjør denne prosessen en kompleks operasjon til en elementær multiplikasjon.
5. Den diskrete Fourier-transformasjonen kan raskt beregnes på en datamaskin ved å bruke den "raske" metoden.
varianter av Fourier-transformasjonen
1. Oftest brukes dette begrepet for å betegne en kontinuerlig transformasjon som gir ethvert kvadrat-integrerbart uttrykk som en sum av komplekse eksponentielle uttrykk med spesifikke vinkelfrekvenser og amplituder. Denne arten har flere forskjellige former, som kanavvike med konstante koeffisienter. Den kontinuerlige metoden inkluderer en konverteringstabell, som finnes i matematiske oppslagsverk. Et generalisert tilfelle er en brøktransformasjon, ved hjelp av hvilken den gitte prosessen kan heves til den nødvendige reelle kraften.
2. Den kontinuerlige modusen er en generalisering av den tidlige teknikken til Fourier-serier definert for ulike periodiske funksjoner eller uttrykk som eksisterer i et begrenset område og representerer dem som serier av sinusoider.
3. Diskret Fourier-transformasjon. Denne metoden brukes i datateknologi for vitenskapelige beregninger og for digital signalbehandling. For å utføre denne typen beregninger er det nødvendig å ha funksjoner som definerer individuelle punkter, periodiske eller avgrensede områder på et diskret sett i stedet for kontinuerlige Fourier-integraler. Sign altransformasjonen i dette tilfellet er representert som summen av sinusoider. Samtidig tillater bruken av den "raske" metoden bruk av diskrete løsninger for eventuelle praktiske problemer.
4. Fourier-transformen med vinduer er en generalisert form for den klassiske metoden. I motsetning til standardløsningen, når signalspekteret brukes, som tas i hele spekteret av eksistensen av en gitt variabel, er her kun den lokale frekvensfordelingen av spesiell interesse, forutsatt at den opprinnelige variabelen (tiden) bevares.
5. Todimensjonal Fourier-transformasjon. Denne metoden brukes til å arbeide med todimensjonale datamatriser. I dette tilfellet utføres først transformasjonen i én retning, og deretter innannet.
Konklusjon
I dag er Fourier-metoden godt forankret i ulike vitenskapsfelt. For eksempel, i 1962, ble DNA-dobbelhelix-formen oppdaget ved bruk av Fourier-analyse kombinert med røntgendiffraksjon. Sistnevnte var fokusert på krystaller av DNA-fibre, som et resultat ble bildet som ble oppnådd ved diffraksjon av stråling registrert på film. Dette bildet ga informasjon om verdien av amplituden ved bruk av Fourier-transformasjonen til en gitt krystallstruktur. Fasedata ble oppnådd ved å sammenligne DNA-diffraksjonskartet med kart oppnådd fra analyse av lignende kjemiske strukturer. Som et resultat har biologer gjenopprettet krystallstrukturen - den opprinnelige funksjonen.
Fourier-transformasjoner spiller en enorm rolle i studiet av rom, halvleder- og plasmafysikk, mikrobølgeakustikk, oseanografi, radar, seismologi og medisinske undersøkelser.
