Eleven møter oftest overflater av 2. orden det første året. Til å begynne med kan oppgaver om dette emnet virke enkle, men etter hvert som du studerer høyere matematikk og fordyper deg i den vitenskapelige siden, kan du endelig slutte å orientere deg i det som skjer. For å forhindre at dette skjer, er det nødvendig ikke bare å huske, men å forstå hvordan denne eller den overflaten oppnås, hvordan endring av koeffisientene påvirker den og dens plassering i forhold til det opprinnelige koordinatsystemet, og hvordan man finner et nytt system (en der senteret sammenfaller med origokoordinatene, og symmetriaksen er parallell med en av koordinataksene). La oss starte fra begynnelsen.
Definition
GMT kalles en 2. ordens overflate, hvis koordinater tilfredsstiller den generelle ligningen med følgende form:
F(x, y, z)=0.
Det er klart at hvert punkt som tilhører overflaten må ha tre koordinater på et bestemt grunnlag. Selv om i noen tilfeller kan lokuset til punkter degenerere, for eksempel til et fly. Det betyr bare at en av koordinatene er konstant og lik null i hele området av akseptable verdier.
Den fullstendige m alte formen for likheten nevnt ovenfor ser slik ut:
A11x2+A22y2 +A33z2+2A12xy+2A23 yz+2A13xz+2A14x+2A24y+2A 34z+A44=0.
Anm – noen konstanter, x, y, z – variabler som tilsvarer affine koordinater for et punkt. I dette tilfellet må minst én av konstantfaktorene ikke være lik null, det vil si at ingen punkt vil tilsvare ligningen.
I de aller fleste eksemplene er mange numeriske faktorer fortsatt identisk lik null, og ligningen er sterkt forenklet. I praksis er det ikke vanskelig å avgjøre om et punkt tilhører en overflate (det er nok å erstatte dets koordinater i ligningen og sjekke om identiteten er observert). Nøkkelpunktet i et slikt arbeid er å bringe sistnevnte til en kanonisk form.
Ligningen skrevet ovenfor definerer alle (alle oppført nedenfor) overflater av andre orden. Vi tar for oss eksempler nedenfor.
Typer overflater av 2. orden
Ligninger av overflater av 2. orden avviker bare i verdiene til koeffisientene Anm. Fra det generelle synet, for visse verdier av konstantene, kan forskjellige overflater oppnås, klassifisert som følger:
- Sylindere.
- Elliptisk type.
- Hyperbolsk type.
- Konisk type.
- Parabolic type.
- Fly.
Hver av de oppførte typene har en naturlig og imaginær form: i den imaginære formen degenererer stedet for reelle punkter enten til en enklere figur, eller er helt fraværende.
Sylinder
Dette er den enkleste typen, siden en relativt kompleks kurve bare ligger ved basen og fungerer som en guide. Generatorene er rette linjer vinkelrett på planet som basen ligger i.
Graffen viser en sirkulær sylinder, et spesi altilfelle av en elliptisk sylinder. I XY-planet vil projeksjonen være en ellipse (i vårt tilfelle en sirkel) - en guide, og i XZ - et rektangel - siden generatorene er parallelle med Z-aksen. For å få det fra den generelle ligningen, trenger du for å gi koeffisientene følgende verdier:
I stedet for de vanlige symbolene brukes x, y, z, x med et serienummer - det spiller ingen rolle.
Faktisk, 1/a2og de andre konstantene som er angitt her er de samme koeffisientene som er angitt i den generelle ligningen, men det er vanlig å skrive dem på denne formen - dette er den kanoniske representasjonen. Videre vil bare en slik notasjon bli brukt.
Dette er hvordan en hyperbolsk sylinder er definert. Opplegget er det samme - hyperbolen vil være veiledningen.
y2=2px
En parabolsylinder er definert noe annerledes: dens kanoniske form inkluderer en koeffisient p, k alt en parameter. Faktisk er koeffisienten lik q=2p, men det er vanlig å dele den inn i de to faktorene som presenteres.
Det finnes en annen type sylinder: imaginær. Ingen egentlig poeng tilhører en slik sylinder. Det er beskrevet av ligningenelliptisk sylinder, men i stedet for enhet er -1.
Elliptisk type
En ellipsoide kan strekkes langs en av aksene (langs som den avhenger av verdiene til konstantene a, b, c, angitt ovenfor; det er åpenbart at en større koeffisient vil tilsvare den større aksen).
Det er også en tenkt ellipsoide - forutsatt at summen av koordinatene multiplisert med koeffisientene er -1:
Hyperboloids
Når et minus vises i en av konstantene, blir ellipsoidligningen til ligningen til en enkeltarks hyperboloid. Det må forstås at dette minuset ikke trenger å være plassert før x3-koordinaten! Den bestemmer bare hvilken av aksene som vil være rotasjonsaksen til hyperboloiden (eller parallelt med den, siden når tilleggsledd vises i kvadratet (for eksempel (x-2)2) midten av figuren forskyves, som et resultat av at overflaten beveger seg parallelt med koordinataksene). Dette gjelder alle 2. ordens overflater.
Dessuten må du forstå at likningene presenteres i kanonisk form og at de kan endres ved å variere konstantene (med tegnet bevart!); mens formen deres (hyperboloid, kjegle og så videre) forblir den samme.
Denne ligningen er allerede gitt av en to-arks hyperboloid.
Konisk overflate
Det er ingen enhet i kjegleligningen - lik null.
Bare en avgrenset konisk overflate kalles en kjegle. Bildet under viser at det faktisk vil være to såk alte kjegler på kartet.
Viktig merknad: I alle betraktede kanoniske ligninger tas konstantene som standard positive. Ellers kan tegnet påvirke det endelige diagrammet.
Koordinatplanene blir symmetriplanene til kjeglen, symmetrisenteret er plassert ved origo.
Det er bare plusser i den imaginære kjegleligningen; den eier ett enkelt poeng.
Paraboloids
Overflater av 2. orden i rommet kan ha forskjellige former selv med lignende ligninger. For eksempel er det to typer paraboloider.
x2/a2+y2/b2=2z
En elliptisk paraboloid, når Z-aksen er vinkelrett på tegningen, vil bli projisert inn i en ellipse.
x2/a2-y2/b2=2z
Hyperbolsk paraboloid: seksjoner med plan parallelle med ZY vil produsere parabler, og seksjoner med plan parallelle med XY vil produsere hyperbler.
kryssende fly
Det er tilfeller når overflater av 2. orden degenererer til et plan. Disse flyene kan ordnes på forskjellige måter.
Vurder først de kryssende flyene:
x2/a2-y2/b2=0
Denne modifikasjonen av den kanoniske ligningen resulterer i bare to kryssende plan (imaginære!); alle reelle punkter er på aksen til koordinaten som mangler i ligningen (i den kanoniske - Z-aksen).
Parallelle fly
y2=a2
Når det bare er én koordinat, degenererer overflatene av 2. orden til et par parallelle plan. Husk at enhver annen variabel kan ta plassen til Y; da vil fly parallelt med andre akser oppnås.
y2=−a2
I dette tilfellet blir de imaginære.
sammenfallende fly
y2=0
Med en så enkel ligning degenererer et par fly til ett - de faller sammen.
Ikke glem at når det gjelder en tredimensjonal basis, definerer ikke ligningen ovenfor den rette linjen y=0! Den mangler de to andre variablene, men det betyr bare at verdien deres er konstant og lik null.
Bygning
En av de vanskeligste oppgavene for en student er konstruksjon av overflater av 2. orden. Det er enda vanskeligere å flytte fra ett koordinatsystem til et annet, gitt vinklene på kurven i forhold til aksene og forskyvningen av sentrum. La oss gjenta hvordan du konsekvent bestemmer fremtidig visning av tegningen med en analytiskmåte.
For å bygge en 2. ordens overflate trenger du:
- bring ligningen til kanonisk form;
- bestem hvilken type overflate som skal studeres;
- konstruksjon basert på koeffisientverdier.
Nedenfor er alle typer vurdert:
For å konsolidere, la oss beskrive i detalj ett eksempel på denne typen oppgaver.
Eksempler
Anta at det er en ligning:
3(x2-2x+1)+6y2+2z2+ 60y+144=0
La oss ta det til den kanoniske formen. La oss skille ut de fulle kvadratene, det vil si at vi ordner de tilgjengelige leddene på en slik måte at de er utvidelsen av kvadratet av summen eller differansen. For eksempel: hvis (a+1)2=a2+2a+1 then a2+2a +1=(a+1)2. Vi vil gjennomføre den andre operasjonen. I dette tilfellet er det ikke nødvendig å åpne parentesene, siden dette bare vil komplisere beregningene, men det er nødvendig å ta ut fellesfaktoren 6 (i parentes med hele kvadratet av Y-en):
3(x-1)2+6(y+5)2+2z2=6
Variabelen z forekommer i dette tilfellet bare én gang - du kan la den være i fred for nå.
Vi analyserer ligningen på dette stadiet: alle ukjente er innledet med et plusstegn; når delt på seks, gjenstår en. Derfor har vi en ligning som definerer en ellipsoide.
Merk at 144 ble innregnet i 150-6, hvoretter -6 ble flyttet til høyre. Hvorfor måtte det gjøres på denne måten? Åpenbart er den største divisoren i dette eksemplet -6, slik at etter å ha dividert med denen er venstre til høyre, det er nødvendig å "utsette" nøyaktig 6 fra 144 (det faktum at man skal være til høyre er indikert ved tilstedeværelsen av et fritt begrep - en konstant ikke multiplisert med en ukjent).
Del alt med seks og få den kanoniske ligningen til ellipsoiden:
(x-1)2/2+(y+5)2/1+z2 /3=1
I den tidligere brukte klassifiseringen av overflater av 2. orden, vurderes et spesielt tilfelle når midten av figuren er ved opprinnelsen til koordinatene. I dette eksemplet er den forskjøvet.
Vi antar at hver parentes med ukjente er en ny variabel. Det vil si: a=x-1, b=y+5, c=z. I de nye koordinatene faller midten av ellipsoiden sammen med punktet (0, 0, 0), derfor a=b=c=0, hvorav: x=1, y=-5, z=0. I de innledende koordinatene ligger midten av figuren i punktet (1, -5, 0).
Ellipsoid vil bli hentet fra to ellipser: den første i XY-planet og den andre i XZ-planet (eller YZ - det spiller ingen rolle). Koeffisientene som variablene er dividert med, kvadreres i den kanoniske ligningen. Derfor, i eksemplet ovenfor, ville det være mer riktig å dele med roten av to, én og roten av tre.
Småaksen til den første ellipsen, parallell med Y-aksen, er to. Hovedaksen parallelt med x-aksen er to røtter av to. Den mindre aksen til den andre ellipsen, parallelt med Y-aksen, forblir den samme - den er lik to. Og hovedaksen, parallell med Z-aksen, er lik to røtter av tre.
Ved hjelp av dataene hentet fra den opprinnelige ligningen ved å konvertere til den kanoniske formen, kan vi tegne en ellipsoide.
oppsummering
Dekket i denne artikkelenemnet er ganske omfattende, men faktisk, som du nå kan se, ikke særlig komplisert. Utviklingen slutter faktisk i det øyeblikket du husker navnene og ligningene til overflater (og, selvfølgelig, hvordan de ser ut). I eksemplet ovenfor har vi diskutert hvert trinn i detalj, men å bringe ligningen til den kanoniske formen krever minim alt med kunnskap om høyere matematikk og bør ikke forårsake noen vanskeligheter for eleven.
Analyse av den fremtidige planen på eksisterende likestilling er allerede en vanskeligere oppgave. Men for dens vellykkede løsning er det nok å forstå hvordan de tilsvarende andreordenskurvene er bygget opp - ellipser, paraboler og andre.
Degenerasjonssaker – en enda enklere del. På grunn av fraværet av enkelte variabler forenkles ikke bare beregningene, som nevnt tidligere, men også selve konstruksjonen.
Så snart du trygt kan navngi alle typer overflater, variér konstantene, gjør grafen om til en eller annen form - emnet vil bli mestret.
Suksess i studiene!
