Heksagon alt prisme og dets hovedegenskaper

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2024-01-02 17:53

Romlig geometri er studiet av prismer. Deres viktige egenskaper er volumet i dem, overflatearealet og antall bestanddeler. I artikkelen vil vi vurdere alle disse egenskapene for et sekskantet prisme.

Hvilket prisme snakker vi om?

Et sekskantet prisme er en figur dannet av to polygoner med seks sider og seks vinkler, og seks parallellogrammer som forbinder de markerte sekskantene til en enkelt geometrisk formasjon.

Figuren viser et eksempel på dette prismet.

Sekskanten som er merket med rødt, kalles basen til figuren. Tydeligvis er antallet baser lik to, og begge er identiske. De gulgrønne ansiktene til et prisme kalles sidene. I figuren er de representert med kvadrater, men generelt er de parallellogrammer.

Det sekskantede prismet kan være skråstilt og rett. I det første tilfellet er ikke vinklene mellom basen og sidene rette, i det andre er de lik 90o. Dessuten kan dette prismet være riktig og feil. Vanlig sekskantetprismet må være rett og ha en vanlig sekskant i bunnen. Prismet ovenfor i figuren tilfredsstiller disse kravene, så det kalles riktig. Videre i artikkelen vil vi kun studere egenskapene, som et generelt tilfelle.

Elements

For ethvert prisme er hovedelementene kanter, flater og hjørner. Det sekskantede prismet er intet unntak. Figuren ovenfor lar deg telle antallet av disse elementene. Så vi får 8 flater eller sider (to baser og seks laterale parallellogrammer), antall toppunkter er 12 (6 toppunkter for hver base), antall kanter på et sekskantet prisme er 18 (seks sidepunkt og 12 for basene).

På 1750-tallet etablerte Leonhard Euler (en sveitsisk matematiker) for alle polyedre, som inkluderer et prisme, et matematisk forhold mellom tallene til de angitte elementene. Dette forholdet ser slik ut:

antall kanter=antall flater + antall hjørner - 2.

Tallene ovenfor tilfredsstiller denne formelen.

prismediagonaler

Alle diagonaler i et sekskantet prisme kan deles inn i to typer:

• de som ligger i ansiktsplanene;
• de som tilhører hele volumet av figuren.

Bildet nedenfor viser alle disse diagonalene.

Det kan sees at D₁ er sidediagonalen, D₂ og D₃ er diagonalene hele prismet, D₄ og D_{5 - diagonalene til basen.}

Lengdene på diagonalene på sidene er lik hverandre. Det er enkelt å beregne dem ved å bruke det velkjente Pythagoras teoremet. La a være lengden på siden av sekskanten, b lengden på sidekanten. Da har diagonalen lengde:

D₁=√(a² + b^2).

Diagonal D₄ er også lett å bestemme. Hvis vi husker at en regulær sekskant passer inn i en sirkel med radius a, så er D_{4 diameteren til denne sirkelen, det vil si at vi får følgende formel:}

D_4=2a.

Diagonal D₅baser er noe vanskeligere å finne. For å gjøre dette, vurdere en likesidet trekant ABC (se fig.). For ham er AB=BC=a, vinkelen ABC er 120^{o. Hvis vi senker høyden fra denne vinkelen (det vil også være halveringslinjen og medianen), så vil halvparten av AC-basen være lik:}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

AC-siden er diagonalen til D_{5, så vi får:}

D_5=AC=√3a.

Nå gjenstår det å finne diagonalene D₂og D_{3for et regulært sekskantet prisme. For å gjøre dette må du se at de er hypotenusene til de tilsvarende rettvinklene. Ved å bruke Pythagoras teorem får vi:}

D₂=√(D₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

Dermed er den største diagonalen for alle verdier av a og bD_2.

Overflateareal

For å forstå hva som står på spill, er den enkleste måten å vurdere utviklingen av dette prismet. Det er vist på bildet.

Det kan sees at for å bestemme arealet av alle sider av figuren som vurderes, er det nødvendig å beregne arealet av firkanten og arealet av sekskanten separat, og deretter multiplisere dem med de tilsvarende heltall lik antallet av hver n-gon i prismet, og legg til resultatene. Heksagoner 2, rektangler 6.

For arealet til et rektangel får vi:

S_1=ab.

Da er sideoverflaten:

S_2=6ab.

For å bestemme arealet til en sekskant, er den enkleste måten å bruke den tilsvarende formelen, som ser slik ut:

S=n/4a2ctg(pi/n).

Ved å erstatte tallet n lik 6 i dette uttrykket, får vi arealet av en sekskant:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

Dette uttrykket skal multipliseres med to for å få arealet av grunnflatene til prismet:

S_os=3√3a^2.

Det gjenstår å legge til S_os og S_{2 for å få det totale overflatearealet til figuren:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

prismevolum

Etter formelen forarealet av en sekskantet base, å beregne volumet i det aktuelle prismet er like enkelt som å avskalle pærer. For å gjøre dette trenger du bare å multiplisere arealet av benbasen (sekskant) med høyden på figuren, hvis lengde er lik lengden på sidekanten. Vi får formelen:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

Merk at produktet av basen og høyden gir verdien av volumet til absolutt ethvert prisme, inkludert det skråstilte. Men i sistnevnte tilfelle er beregningen av høyden komplisert, siden den ikke lenger vil være lik lengden på sideribben. Når det gjelder et regulært sekskantet prisme, er verdien av dets volum en funksjon av to variabler: sidene a og b.