Geometri er en gren av matematikken som studerer strukturer i rommet og forholdet mellom dem. På sin side består den også av seksjoner, og en av dem er stereometri. Den sørger for studiet av egenskapene til volumetriske figurer som befinner seg i rommet: en terning, en pyramide, en ball, en kjegle, en sylinder, osv.
En kjegle er et legeme i det euklidiske rom som avgrenser en konisk overflate og et plan som endene av dens generatorer ligger på. Dens dannelse skjer i prosessen med å rotere en rettvinklet trekant rundt noen av bena, derfor tilhører den revolusjonslegemene.
kjeglekomponenter
Følgende typer kjegler skilles: skrå (eller skrå) og rette. Skrå er den hvis akse skjærer med midten av basen, ikke i rett vinkel. Av denne grunn faller ikke høyden i en slik kjegle sammen med aksen, siden det er et segment som senkes fra toppen av kroppen til planet.base ved 90°.
Den kjeglen, hvis akse er vinkelrett på bunnen, kalles en rett kjegle. Aksen og høyden i et slikt geometrisk legeme faller sammen på grunn av at toppunktet i den er plassert over midten av basisdiameteren.
Keglen består av følgende elementer:
- Sirkelen som er basen.
- Side.
- Et punkt som ikke ligger i basens plan, k alt toppen av kjeglen.
- Segmenter som forbinder punktene i sirkelen til bunnen av den geometriske kroppen og toppen.
Alle disse segmentene er generatriser for kjeglen. De er tilbøyelige til bunnen av den geometriske kroppen, og i tilfelle av en høyre kjegle er projeksjonene like, siden toppunktet er like langt fra grunnsirkelens punkter. Dermed kan vi konkludere med at i en vanlig (rett) kjegle er generatorene like, det vil si at de har samme lengde og danner de samme vinklene med aksen (eller høyden) og base.
Siden i et skrått (eller skråstilt) omdreiningslegeme er toppunktet forskjøvet i forhold til midten av grunnplanet, har generatorene i et slikt legeme forskjellige lengder og projeksjoner, siden hver av dem er i forskjellig avstand fra to punkter i grunnsirkelen. I tillegg vil vinklene mellom dem og høyden på kjeglen også være forskjellige.
Lengden på generatorene i en høyre kjegle
Som skrevet tidligere, er høyden i et rett geometrisk omdreiningslegeme vinkelrett på grunnplanet. Dermed lager generatrisen, høyden og radiusen til basen en rettvinklet trekant i kjeglen.
Det vil si, ved å vite radiusen til basen og høyden, ved å bruke formelen fra Pythagoras teorem, kan du beregne lengden på generatrisen, som vil være lik summen av kvadratene til grunnradiusen og høyde:
l2 =r2+ h2 eller l=√r 2 + h2
der l er en generatrise;
r – radius;
h – høyde.
Generativ i en skrå kjegle
Basert på at i en skrå eller skrå kjegle er ikke generatorene like lange, vil det ikke være mulig å beregne dem uten tilleggskonstruksjoner og beregninger.
Først av alt må du vite høyden, lengden på aksen og radiusen til basen.
Med disse dataene kan du beregne den delen av radiusen som ligger mellom aksen og høyden, ved å bruke formelen fra Pythagoras teorem:
r1=√k2 - h2
der r1 er delen av radiusen mellom aksen og høyden;
k – aksellengde;
h – høyde.
Som et resultat av å legge til radius (r) og dens del som ligger mellom aksen og høyden (r1), kan du finne ut hele siden av høyre trekant dannet av generatrisen til kjeglen, dens høyde og diameter del:
R=r + r1
der R er benet til trekanten dannet av høyden, generatrisen og en del av diameteren til basen;
r – basisradius;
r1 – en del av radiusen mellom aksen og høyden.
Ved å bruke samme formel fra Pythagoras teorem, kan du finne lengden på kjeglens generatrise:
l=√h2+ R2
eller, uten å beregne R separat, kombiner de to formlene til én:
l=√h2 + (r + r1)2.
Til tross for om det er en rett eller skrå kjegle og hva slags inngangsdata, kommer alle metoder for å finne lengden på generatrisen alltid ned til ett resultat - bruken av Pythagoras teorem.
kjegleseksjon
Aksialsnitt av en kjegle er et plan som passerer langs dens akse eller høyde. I en rett kjegle er en slik seksjon en likebenet trekant, der høyden på trekanten er høyden på kroppen, sidene er generatorene, og basen er diameteren til basen. I et likesidet geometrisk legeme er aksialsnittet en likesidet trekant, siden i denne kjeglen er diameteren til basen og generatorene like.
Planet til den aksiale seksjonen i en rett kjegle er planet for dens symmetri. Grunnen til dette er at toppen er over midten av basen, det vil si at planet til aksialsnittet deler kjeglen i to identiske deler.
Siden høyden og aksen ikke stemmer overens i et skrånende legeme, kan det hende at planet til aksialsnittet ikke inkluderer høyden. Hvis det er mulig å konstruere et sett med aksiale seksjoner i en slik kjegle, siden bare en betingelse må overholdes for dette - den må bare passere gjennom aksen, så bare en aksial seksjon av planet, som vil tilhøre høyden til denne kjeglen, kan trekkes, fordi antall forhold øker, og som kjent kan to linjer (sammen) tilhørebare ett fly.
Seksjonsområde
Den aksiale delen av kjeglen nevnt tidligere er en trekant. Basert på dette kan arealet beregnes ved å bruke formelen for arealet av en trekant:
S=1/2dh eller S=1/22rh
der S er tverrsnittsarealet;
d – base diameter;
r – radius;
h – høyde.
I en skrå, eller skrå kjegle, er snittet langs aksen også en trekant, så tverrsnittsarealet i den beregnes på samme måte.
Volum
Siden en kjegle er en tredimensjonal figur i tredimensjon alt rom, kan vi beregne volumet. Volumet til en kjegle er et tall som karakteriserer denne kroppen i en volumenhet, det vil si i m3. Beregningen avhenger ikke av om den er rett eller skrå (skrå), siden formlene for disse to kroppstypene ikke er forskjellige.
Som nevnt tidligere skjer dannelsen av en rett kjegle på grunn av rotasjonen av en rettvinklet trekant langs det ene bena. En skrå eller skrå kjegle er formet annerledes, siden høyden er forskjøvet bort fra midten av kroppens basisplan. Slike forskjeller i struktur påvirker imidlertid ikke metoden for å beregne volumet.
Volumberegning
Formelen for volumet til enhver kjegle ser slik ut:
V=1/3πhr2
der V er volumet til kjeglen;
h – høyde;
r – radius;
π - konstant lik 3, 14.
For å beregne volumet til en kjegle, må du ha data om høyden og radiusen til kroppsbunnen.
For å beregne høyden til en kropp, må du vite radiusen til basen og lengden på dens generatrise. Siden radius, høyde og generatrise er kombinert til en rettvinklet trekant, kan høyden beregnes ved å bruke formelen fra Pythagoras teoremet (a2+ b2=c 2 eller i vårt tilfelle h2+ r2=l2 , hvor l - generatrise). I dette tilfellet vil høyden beregnes ved å trekke ut kvadratroten av forskjellen mellom kvadratene på hypotenusen og det andre benet:
a=√c2- b2
Det vil si at høyden på kjeglen vil være lik verdien oppnådd etter å ha trukket ut kvadratroten fra forskjellen mellom kvadratet på lengden av generatrisen og kvadratet på radiusen til basen:
h=√l2 - r2
Når du beregner høyden ved å bruke denne metoden og kjenner radiusen til basen, kan du beregne volumet til kjeglen. I dette tilfellet spiller generatrisen en viktig rolle, siden den fungerer som et hjelpeelement i beregningene.
Tilsvarende, hvis du kjenner høyden til legemet og lengden på generatrisen, kan du finne radiusen til basen ved å trekke ut kvadratroten av forskjellen mellom kvadratet av generatrisen og kvadratet av høyden:
r=√l2 - h2
Deretter, ved å bruke samme formel som ovenfor, beregner du volumet til kjeglen.
Volum med skrå kjegle
Siden formelen for volumet til en kjegle er den samme for alle typer omdreiningslegemer, er forskjellen i beregningen søket etter høyde.
For å finne ut høyden på en skrå kjegle, må inndataene inkludere lengden på generatrisen, radiusen til basen og avstanden mellom sentrumbase og skjæringspunktet mellom kroppens høyde og planet til basen. Når du vet dette, kan du enkelt beregne den delen av basens diameter, som vil være basen til en rettvinklet trekant (dannet av høyden, generatrisen og planet til basen). Deretter, igjen ved å bruke Pythagoras teorem, beregner du høyden på kjeglen og deretter volumet.
