Hva er aritmetikk? Når begynte menneskeheten å bruke tall og jobbe med dem? Hvor går røttene til slike hverdagslige begreper som tall, brøker, subtraksjon, addisjon og multiplikasjon, som en person har gjort til en uatskillelig del av sitt liv og verdensbilde? Gamle greske sinn beundret vitenskaper som matematikk, aritmetikk og geometri som de vakreste symfoniene innen menneskelig logikk.
Kanskje aritmetikk ikke er så dypt som andre vitenskaper, men hva ville skje med dem hvis en person glemmer den elementære multiplikasjonstabellen? Den logiske tenkningen som er vanlig for oss, ved å bruke tall, brøker og andre verktøy, var ikke lett for folk og var i lang tid utilgjengelig for våre forfedre. Faktisk, før utviklingen av aritmetikk var ingen område av menneskelig kunnskap virkelig vitenskapelig.
Aritmetikk er matematikkens ABC
Aritmetikk er vitenskapen om tall, som enhver person begynner å bli kjent med matematikkens fascinerende verden med. Som M. V. Lomonosov sa, aritmetikk er læringsporten, og åpner veien til verdenskunnskap for oss. Men han har rettEr kunnskapen om verden kan skilles fra kunnskapen om tall og bokstaver, matematikk og tale? Kanskje i gamle dager, men ikke i den moderne verden, der den raske utviklingen av vitenskap og teknologi dikterer sine egne lover.
Ordet "aritmetikk" (gresk "aritmos") av gresk opprinnelse betyr "tall". Hun studerer tall og alt som kan henge sammen med dem. Dette er tallenes verden: ulike operasjoner på tall, numeriske regler, løsning av problemer som er relatert til multiplikasjon, subtraksjon osv.
Det er generelt akseptert at aritmetikk er det første trinnet i matematikk og et solid grunnlag for dens mer komplekse seksjoner, som algebra, matematisk analyse, høyere matematikk osv.
Hovedobjekt for aritmetikk
Grunnlaget for aritmetikk er et heltall, hvis egenskaper og mønstre vurderes i høyere aritmetikk eller tallteori. Faktisk avhenger styrken til hele bygningen – matematikk – av hvor riktig tilnærmingen er tatt når man vurderer en så liten blokk som et naturlig tall.
Derfor kan spørsmålet om hva aritmetikk er besvares enkelt: det er vitenskapen om tall. Ja, om de vanlige sju, ni og alt dette mangfoldige samfunnet. Og akkurat som du ikke kan skrive god eller til og med den mest middelmådige poesi uten et elementært alfabet, kan du ikke løse selv et elementært problem uten aritmetikk. Det er grunnen til at alle vitenskapene først gikk videre etter utviklingen av aritmetikk og matematikk, før det bare var et sett med antakelser.
Aritmetikk er en fantomvitenskap
Hva er aritmetikk - naturvitenskap eller fantom? Faktisk, som de gamle greske filosofene hevdet, eksisterer verken tall eller tall i virkeligheten. Dette er bare et fantom som skapes i menneskelig tenkning når man vurderer miljøet med dets prosesser. Faktisk, hva er et tall? Ingen steder rundt ser vi noe slikt som kan kalles et tall, snarere er et tall en måte for menneskesinnet å studere verden på. Eller kanskje det er studiet av oss selv fra innsiden? Filosofer har kranglet om dette i mange århundrer på rad, så vi forplikter oss ikke til å gi et uttømmende svar. På en eller annen måte har aritmetikk klart å ta sin plass så fast at i den moderne verden kan ingen anses som sosi alt tilpasset uten å kjenne det grunnleggende.
Hvordan så det naturlige tallet ut
Selvfølgelig er hovedobjektet som aritmetikk opererer på et naturlig tall, slik som 1, 2, 3, 4, …, 152… osv. Regnestykket til naturlige tall er resultatet av å telle vanlige gjenstander, for eksempel kuer i en eng. Likevel sluttet definisjonen av "mye" eller "lite" en gang å passe folk, og de måtte finne opp mer avanserte telleteknikker.
Men det virkelige gjennombruddet skjedde da menneskelig tanke nådde det punktet at det er mulig å angi 2 kilo, og 2 klosser, og 2 deler med samme nummer "to". Faktum er at du må abstrahere fra formene, egenskapene og betydningen til objekter, så kan du utføre noen handlinger med disse objektene i form av naturlige tall. Dermed ble aritmetikken til tall født, somvidereutviklet og utvidet, og inntar stadig større posisjoner i samfunnslivet.
Slike dyptgående tallbegreper som null og negativt tall, brøker, tallbetegnelser og på andre måter har en rik og interessant utviklingshistorie.
Aritmetiske og praktiske egyptere
De to eldste menneskelige følgesvennene i å utforske verden rundt oss og løse hverdagslige problemer er aritmetikk og geometri.
Det antas at aritmetikkens historie har sin opprinnelse i det gamle østen: i India, Egypt, Babylon og Kina. Rinda-papyrusen av egyptisk opprinnelse (så k alt fordi den tilhørte eieren med samme navn), dateres tilbake til det 20. århundre. BC inneholder, i tillegg til andre verdifulle data, utvidelsen av én brøk til summen av brøker med forskjellige nevnere og en teller lik én.
For eksempel: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
Men hva er vitsen med en så kompleks dekomponering? Faktum er at den egyptiske tilnærmingen ikke tolererte abstrakte tanker om tall, tvert imot ble beregninger bare gjort for praktiske formål. Det vil si at egypteren vil drive med slikt som beregninger, utelukkende for å bygge en grav, for eksempel. Det var nødvendig å beregne lengden på kanten av strukturen, og dette tvang en person til å sette seg ned bak papyrusen. Som du kan se, ble den egyptiske fremgangen i beregninger snarere forårsaket av massekonstruksjon enn av kjærlighet til vitenskap.
Av denne grunn kan ikke beregningene funnet på papyrus kalles refleksjoner rundt temaet brøk. Mest sannsynlig er dette en praktisk forberedelse som hjalp i fremtiden.løse problemer med brøker. De gamle egypterne, som ikke kjente multiplikasjonstabellene, gjorde ganske lange beregninger, dekomponert i mange deloppgaver. Kanskje dette er en av disse deloppgavene. Det er lett å se at beregninger med slike arbeidsstykker er veldig arbeidskrevende og lite lovende. Kanskje av denne grunn ser vi ikke det gamle Egypts store bidrag til utviklingen av matematikk.
Antidens Hellas og filosofisk aritmetikk
Mange kunnskap om det antikke østen ble mestret med suksess av de gamle grekerne, kjente elskere av abstrakte, abstrakte og filosofiske refleksjoner. De var ikke mindre interessert i praksis, men det er vanskelig å finne de beste teoretikere og tenkerne. Dette har gagnet vitenskapen, siden det er umulig å fordype seg i aritmetikk uten å bryte den fra virkeligheten. Visst, du kan formere 10 kyr og 100 liter melk, men du kommer ikke så langt.
De dypttenkende grekerne satte et betydelig preg på historien, og deres skrifter har kommet ned til oss:
- Euklid og elementene.
- Pythagoras.
- Archimedes.
- Eratosthenes.
- Zeno.
- Anaxagoras.
Og, selvfølgelig, grekerne, som gjorde alt til filosofi, og spesielt etterfølgerne til Pythagoras verk, var så fascinert av tall at de betraktet dem som mysteriet med verdens harmoni. Tall er studert og forsket på i en slik grad at noen av dem og parene deres har blitt tillagt spesielle egenskaper. For eksempel:
- Perfekte tall er de som er lik summen av alle divisorene deres, bortsett fra selve tallet (6=1+2+3).
- Vennlige numre er disse numrene, hvorav etter lik summen av alle divisorer av sekundet, og omvendt (pytagoreerne kjente bare ett slikt par: 220 og 284).
Grekerne, som mente at vitenskapen burde bli elsket, og ikke være med for profittens skyld, oppnådde stor suksess ved å utforske, leke og legge til tall. Det skal bemerkes at ikke all forskningen deres ble mye brukt, noen av dem forble bare "for skjønnhet".
østlige tenkere i middelalderen
På samme måte, i middelalderen, skylder aritmetikk sin utvikling til østlige samtid. Indianerne ga oss tallene som vi aktivt bruker, for eksempel et konsept som "null", og den posisjonelle versjonen av kalkulusen, kjent for moderne oppfatning. Fra Al-Kashi, som arbeidet i Samarkand på 1400-tallet, arvet vi desimalbrøker, uten hvilke det er vanskelig å forestille seg moderne regning.
På mange måter ble Europas bekjentskap med Østens prestasjoner mulig takket være arbeidet til den italienske forskeren Leonardo Fibonacci, som skrev verket "The Book of the Abacus", og introduserte østlige innovasjoner. Det ble hjørnesteinen i utviklingen av algebra og aritmetikk, forskning og vitenskapelige aktiviteter i Europa.
russisk aritmetikk
Og til slutt begynte aritmetikk, som fant sin plass og slo rot i Europa, å spre seg til russiske land. Den første russiske aritmetikken ble utgitt i 1703 - det var en bok om aritmetikk av Leonty Magnitsky. I lang tid forble det den eneste læreboken i matematikk. Den inneholder de første øyeblikkene av algebra og geometri. Tallene som ble brukt i eksemplene i den første aritmetiske læreboken i Russland er arabiske. Selv om arabiske tall har blitt sett før, på graveringer som dateres tilbake til 1600-tallet.
Selve boken er dekorert med bilder av Arkimedes og Pythagoras, og på det første arket - bildet av aritmetikk i form av en kvinne. Hun sitter på en trone, under henne er det skrevet på hebraisk et ord som betegner Guds navn, og på trappetrinnene som fører til tronen er ordene «deling», «multiplikasjon», «tillegg» osv. innskrevet. sannheter som nå anses som vanlig.
En 600-siders lærebok dekker både grunnleggende som addisjons- og multiplikasjonstabeller og applikasjoner for navigasjonsvitenskap.
Det er ikke overraskende at forfatteren valgte bilder av greske tenkere til boken sin, fordi han selv ble betatt av skjønnheten i aritmetikk, og sa: "Aritmetikk er telleren, det er kunst ærlig, lite misunnelsesverdig …". Denne tilnærmingen til aritmetikk er ganske berettiget, fordi det er dens utbredte introduksjon som kan betraktes som begynnelsen på den raske utviklingen av vitenskapelig tenkning i Russland og generell utdanning.
Unprime primtall
Et primtall er et naturlig tall som bare har 2 positive deler: 1 og seg selv. Alle andre tall, bortsett fra 1, kalles sammensatte. Eksempler på primtall: 2, 3, 5, 7, 11 og alle andre som ikke har andre divisorer enn 1 og seg selv.
Når det gjelder tallet 1, er det på en spesiell konto - det er enighet om at det verken skal anses som enkelt eller sammensatt. Enkelt ved første øyekast, et enkelt tall skjuler mange uløste mysterier i seg selv.
Euklids teorem sier at det er et uendelig antall primtall, og Eratosthenes oppfant en spesiell aritmetisk "sil" som eliminerer ikke-primtall, og etterlater bare enkle.
Dens essens er å understreke det første tallet som ikke er krysset ut, og deretter krysse ut de som er multiplum av det. Vi gjentar denne prosedyren mange ganger - og vi får en tabell med primtall.
The Fundamental Theorem of Arithmetic
Blant observasjonene om primtall bør aritmetikkens grunnsetning nevnes på en spesiell måte.
Aritmetikkens fundamentalsetning sier at ethvert heltall større enn 1 enten er primtall, eller det kan dekomponeres til et produkt av primtall opp til rekkefølgen til faktorene, og på en unik måte.
Hovedsetningen i aritmetikk har vist seg å være ganske tungvint, og å forstå det ser ikke lenger ut som det enkleste grunnleggende.
Ved første øyekast er primtall et elementært begrep, men det er de ikke. Fysikken betraktet også en gang at atomet var elementært, helt til det fant hele universet inne i det. En fantastisk historie av matematikeren Don Tzagir "The First Fifty Million Primes" er dedikert til primtall.
Fra "tre epler" til deduktive lover
Det som virkelig kan kalles det forsterkede grunnlaget for all vitenskap, er aritmetikkens lover. Selv i barndommen står alle overfor aritmetikk, studerer antall ben og armer til dukker,antall kuber, epler osv. Slik studerer vi regning, som så går inn i mer komplekse regler.
Hele livet vårt gjør oss kjent med reglene for regnestykket, som er blitt for den vanlige mann den mest nyttige av alt vitenskapen gir. Studiet av tall er "arithmetic-baby", som introduserer en person til tallenes verden i form av tall i tidlig barndom.
Høyere aritmetikk er en deduktiv vitenskap som studerer aritmetikkens lover. Vi kjenner de fleste av dem, selv om vi kanskje ikke kjenner deres eksakte ordlyd.
Loven om addisjon og multiplikasjon
To alle naturlige tall a og b kan uttrykkes som en sum a+b, som også vil være et naturlig tall. Følgende lover gjelder for tillegg:
- Kommutativ, som sier at summen ikke endres fra omorganiseringen av ledd, eller a+b=b+a.
- Associative, som sier at summen ikke avhenger av måten begrepene er gruppert på steder, eller a+(b+c)=(a+ b)+ c.
Regnereglene, som addisjon, er blant de mest elementære, men de brukes av alle vitenskaper, for ikke å snakke om hverdagen.
To alle naturlige tall a og b kan uttrykkes som et produkt ab eller ab, som også er et naturlig tall. De samme kommutative og assosiative lovene gjelder for produktet som for tillegg:
- ab=b a;
- a(bc)=(a b) c.
Jeg lurer påat det er en lov som forener addisjon og multiplikasjon, også k alt en distributiv eller distributiv lov:
a(b+c)=ab+ac
Denne loven lærer oss faktisk å jobbe med parenteser ved å utvide dem, og dermed kan vi jobbe med mer komplekse formler. Dette er lovene som vil lede oss gjennom algebraens bisarre og komplekse verden.
The law of aritmetic order
Ordensloven brukes av menneskelig logikk hver dag, og sammenligner klokker og teller sedler. Og ikke desto mindre må det formaliseres i form av spesifikke formuleringer.
Hvis vi har to naturlige tall a og b, er følgende alternativer mulige:
- a er lik b, eller a=b;
- a er mindre enn b, eller a < b;
- a er større enn b, eller a > b.
Bare ett av tre alternativer kan være rettferdig. Grunnloven som styrer rekkefølgen sier: hvis a < b og b < c, så a< c.
Det er også lover knyttet til rekkefølge til multiplikasjon og addisjon: hvis a< er b, så a + c < b+c og ac< bc.
Aritmetikkens lover lærer oss å jobbe med tall, tegn og parenteser, og gjør alt om til en harmonisk symfoni av tall.
Posisjonell og ikke-posisjonskalkyle
Man kan si at tall er et matematisk språk, hvor mye avhenger av bekvemmeligheten. Det er mange tallsystemer som, i likhet med alfabetene til forskjellige språk, er forskjellige fra hverandre.
La oss vurdere tallsystemene ut fra posisjonens innflytelse på den kvantitative verdientall i denne posisjonen. Så for eksempel er det romerske systemet ikke-posisjonsbestemt, der hvert tall er kodet av et bestemt sett med spesi altegn: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. De er lik henholdsvis tallene 1 / 5/10/50/100/500/ 1000. I et slikt system endrer ikke tallet sin kvantitative definisjon avhengig av hvilken posisjon det er i: første, andre, osv. For å få andre tall, må du legge til grunntallet. For eksempel:
- DCC=700.
- CCM=800.
Tallsystemet som er mer kjent for oss ved å bruke arabiske tall, er posisjonsbestemt. I et slikt system bestemmer sifferet til et tall antall sifre, for eksempel tresifrede tall: 333, 567, etc. Vekten til ethvert siffer avhenger av posisjonen som dette eller det sifferet befinner seg i, for eksempel har tallet 8 i den andre posisjonen en verdi på 80. Dette er typisk for desimalsystemet, det finnes andre posisjonssystemer, for eksempel, binær.
Binær aritmetikk
Vi er kjent med desimalsystemet, som består av ensifrede tall og flersifrede. Tallet til venstre for et flersifret tall er ti ganger mer signifikant enn det til høyre. Så vi er vant til å lese 2, 17, 467 osv. Seksjonen k alt "binær aritmetikk" har en helt annen logikk og tilnærming. Dette er ikke overraskende, fordi binær aritmetikk ble ikke laget for menneskelig logikk, men for datamaskinlogikk. Hvis aritmetikken til tall stammer fra tellingen av objekter, som ble videre abstrahert fra objektets egenskaper til "bar" aritmetikk, så vil ikke dette fungere med en datamaskin. For å kunne delemed sin kunnskap om en datamaskin, måtte en person finne opp en slik modell av kalkulus.
Binær aritmetikk fungerer med det binære alfabetet, som kun består av 0 og 1. Og bruken av dette alfabetet kalles det binære systemet.
Forskjellen mellom binær aritmetikk og desimalregning er at betydningen av posisjonen til venstre ikke lenger er 10, men 2 ganger. Binære tall har formen 111, 1001 osv. Hvordan forstå slike tall? Så tenk på tallet 1100:
- Det første sifferet til venstre er 18=8, og husk at det fjerde sifferet, som betyr at det må multipliseres med 2, får vi posisjon 8.
- Andre siffer 14=4 (posisjon 4).
- Tredje siffer 02=0 (posisjon 2).
- Fjerde siffer 01=0 (posisjon 1).
- Så vårt nummer er 1100=8+4+0+0=12.
Det vil si at når man flytter til et nytt siffer til venstre, multipliseres dets betydning i det binære systemet med 2, og i desimal - med 10. Et slikt system har ett minus: det er en for stor økning i sifre som trengs for å skrive tall. Eksempler på å representere desim altall som binære tall finner du i tabellen nedenfor.
Desim altall i binær form er vist nedenfor.
Både oktale og heksadesimale systemer brukes også.
Dette mystiske regnestykket
Hva er aritmetikk, "to ganger to" eller uutforskede mysterier med tall? Som du kan se, kan aritmetikk virke enkelt ved første øyekast, men dens usynlige letthet er villedende. Det kan også studeres av barn sammen med tante ugle frategneserie "Aritmetikk-baby", og du kan fordype deg i dypt vitenskapelig forskning av nesten filosofisk orden. I historien har hun gått fra å telle gjenstander til å tilbe skjønnheten i tall. Bare én ting er sikkert kjent: med etableringen av de grunnleggende postulatene for aritmetikk, kan all vitenskap stole på sin sterke skulder.
