For å si det enkelt og kort, er omfanget verdiene som enhver funksjon kan ta. For å utforske dette emnet fullt ut, må du gradvis demontere følgende punkter og konsepter. La oss først forstå definisjonen av funksjonen og historien til dens utseende.
Hva er en funksjon
Alle eksakte vitenskaper gir oss mange eksempler der de aktuelle variablene på en eller annen måte avhenger av hverandre. For eksempel er tettheten til et stoff helt bestemt av dets masse og volum. Trykket til en ideell gass ved konstant volum varierer med temperaturen. Disse eksemplene forenes av det faktum at alle formler har avhengigheter mellom variabler, som kalles funksjonelle.
En funksjon er et konsept som uttrykker avhengigheten av en størrelse av en annen. Den har formen y=f(x), hvor y er verdien av funksjonen, som avhenger av x - argumentet. Dermed kan vi si at y er en variabel avhengig av verdien av x. Verdiene som x kan ta sammen erdomenet til den gitte funksjonen (D(y) eller D(f)), og følgelig utgjør verdiene til y settet med funksjonsverdier (E(f) eller E(y)). Det er tilfeller når en funksjon er gitt av en formel. I dette tilfellet består definisjonsdomenet av verdien av slike variabler, der notasjonen med formelen gir mening.
Det finnes matchende eller like funksjoner. Dette er to funksjoner som har like områder med gyldige verdier, samt at verdiene til selve funksjonen er like for alle de samme argumentene.
Mange lover i de eksakte vitenskapene er navngitt på samme måte som situasjoner i det virkelige liv. Det er et så interessant faktum også om den matematiske funksjonen. Det er et teorem om grensen for en funksjon "sandwich" mellom to andre som har samme grense - om to politimenn. De forklarer det på denne måten: siden to politimenn fører en fange til en celle mellom seg, blir forbryteren tvunget til å dra dit, og han har rett og slett ikke noe valg.
Historisk funksjonsreferanse
Konseptet med en funksjon ble ikke umiddelbart endelig og presist, det har gjennomgått en lang vei å bli. For det første utt alte Fermats Introduction and Study of Plane and Solid Places, publisert på slutten av 1600-tallet, følgende:
Når det er to ukjente i den endelige ligningen, er det plass.
Generelt snakker dette verket om funksjonell avhengighet og dets materielle bilde (sted=linje).
Også rundt samme tid studerte Rene Descartes linjene ved deres ligninger i sitt verk "Geometry" (1637), hvor igjen det faktumavhengighet av to mengder av hverandre.
Selve omtalen av begrepet "funksjon" dukket opp først på slutten av 1600-tallet med Leibniz, men ikke i dens moderne tolkning. I sitt vitenskapelige arbeid vurderte han at en funksjon er ulike segmenter knyttet til en buet linje.
Men allerede på 1700-tallet begynte funksjonen å bli definert mer korrekt. Bernoulli skrev følgende:
En funksjon er en verdi sammensatt av en variabel og en konstant.
Eulers tanker var også nær dette:
En variabel kvantitetsfunksjon er et analytisk uttrykk som på en eller annen måte består av denne variable mengden og tall eller konstante mengder.
Når noen mengder er avhengige av andre på en slik måte at når de sistnevnte endres, endres de selv, da kalles de førstnevnte funksjoner til sistnevnte.
Function Graph
Grafen til funksjonen består av alle punkter som tilhører aksene til koordinatplanet, hvis abscisse tar verdiene til argumentet, og verdiene til funksjonen i disse punktene er ordinater.
Omfanget til en funksjon er direkte relatert til grafen, fordi hvis noen abscisser ekskluderes av utvalget av gyldige verdier, må du tegne tomme punkter på grafen eller tegne grafen innenfor visse grenser. For eksempel, hvis en graf av formen y=tgx tas, så er verdien x=pi / 2 + pin, n∉R ekskludert fra definisjonsområdet, i tilfelle av en tangentgraf, må du tegnevertikale linjer parallelle med y-aksen (de kalles asymptoter) som går gjennom punktene ±pi/2.
Enhver grundig og nøye studie av funksjoner utgjør en stor gren av matematikken som kalles kalkulus. I elementær matematikk berøres også elementære spørsmål om funksjoner, for eksempel å bygge en enkel graf og etablere noen grunnleggende egenskaper ved en funksjon.
Hvilken funksjon kan settes til
Funksjon kan:
- være en formel, for eksempel: y=cos x;
- sett av en hvilken som helst tabell med par i formen (x; y);
- har umiddelbart en grafisk visning, for dette må parene fra forrige element i skjemaet (x; y) vises på koordinataksene.
Vær forsiktig når du løser noen problemer på høyt nivå, nesten alle uttrykk kan betraktes som en funksjon med hensyn til et eller annet argument for verdien av funksjonen y (x). Å finne definisjonsdomenet i slike oppgaver kan være nøkkelen til løsningen.
Hva er omfanget for?
Det første du trenger å vite om en funksjon for å studere eller bygge den er omfanget. Grafen skal kun inneholde de punktene hvor funksjonen kan eksistere. Definisjonsdomenet (x) kan også refereres til som domenet med akseptable verdier (forkortet ODZ).
For å bygge en graf med funksjoner riktig og raskt, må du kjenne domenet til denne funksjonen, fordi grafens utseende og troverdighet avhenger av detkonstruksjon. For å konstruere en funksjon y=√x, må du for eksempel vite at x bare kan ta positive verdier. Derfor bygges den kun i den første koordinatkvadranten.
Definisjonsomfang på eksemplet med elementære funksjoner
I sitt arsenal har matematikk et lite antall enkle, definerte funksjoner. De har et begrenset omfang. Løsningen på dette problemet vil ikke skape problemer selv om du har en såk alt kompleks funksjon foran deg. Det er bare en kombinasjon av flere enkle.
- Så funksjonen kan være brøk, for eksempel: f(x)=1/x. Dermed er variabelen (vårt argument) i nevneren, og alle vet at nevneren til en brøk ikke kan være lik 0, derfor kan argumentet ha hvilken som helst verdi bortsett fra 0. Notasjonen vil se slik ut: D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Hvis det er et uttrykk med en variabel i nevneren, må du løse likningen for x og ekskludere verdiene som snur nevneren til 0. For en skjematisk representasjon er 5 velvalgte punkter nok. Grafen til denne funksjonen vil være en hyperbel med en vertikal asymptote som går gjennom punktet (0; 0) og, i kombinasjon, Ox- og Oy-aksene. Hvis det grafiske bildet krysser asymptotene, vil en slik feil anses som den groveste.
- Men hva er domenet til roten? Domenet til en funksjon med et radik alt uttrykk (f(x)=√(2x + 5)), som inneholder en variabel, har også sine egne nyanser (gjelder bare roten av en jevn grad). Somden aritmetiske roten er et positivt uttrykk eller lik 0, da må rotuttrykket være større enn eller lik 0, vi løser følgende ulikhet: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5, derfor er domenet til denne funksjon: D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞). Grafen er en av grenene til en parabel, rotert 90 grader, plassert i den første koordinatkvadranten.
- Hvis vi har å gjøre med en logaritmisk funksjon, så bør du huske at det er en begrensning når det gjelder basen til logaritmen og uttrykket under fortegnet til logaritmen, i dette tilfellet kan du finne definisjonsdomenet som følger. Vi har en funksjon: y=loga(x + 7), vi løser ulikheten: x + 7 > 0, x > -7. Da er domenet til denne funksjonen D(y)=x ∈ (-7; +∞).
- Vær også oppmerksom på trigonometriske funksjoner av formen y=tgx og y=ctgx, siden y=tgx=sinx/cos/x og y=ctgx=cosx/sinx, derfor må du ekskludere verdier hvor nevneren kan være lik null. Hvis du er kjent med grafene til trigonometriske funksjoner, er det en enkel oppgave å forstå deres domene.
Hvordan er det forskjellig å jobbe med komplekse funksjoner
Husk noen få grunnleggende regler. Hvis vi jobber med en kompleks funksjon, er det ikke nødvendig å løse noe, forenkle, legge til brøker, redusere til laveste fellesnevner og trekke ut røtter. Vi må undersøke denne funksjonen fordi forskjellige (selv identiske) operasjoner kan endre omfanget av funksjonen, noe som resulterer i et feil svar.
Vi har for eksempel en kompleks funksjon: y=(x2 - 4)/(x - 2). Vi kan ikke redusere telleren og nevneren til brøken, siden dette bare er mulig hvis x ≠ 2, og dette er oppgaven med å finne domenet til funksjonen, så vi faktoriserer ikke telleren og løser ingen ulikheter, fordi verdi som funksjonen ikke eksisterer med, synlig for det blotte øye. I dette tilfellet kan ikke x ta på seg verdien 2, siden nevneren ikke kan gå til 0, vil notasjonen se slik ut: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
Gjensidige funksjoner
For det første er det verdt å si at en funksjon kan bli reversibel bare ved et intervall med økning eller reduksjon. For å finne den inverse funksjonen, må du bytte x og y i notasjonen og løse likningen for x. Definisjonsdomener og verdidomener er ganske enkelt reversert.
Hovedbetingelsen for reversibilitet er et monotont intervall for en funksjon, hvis en funksjon har intervaller for økning og reduksjon, så er det mulig å komponere den inverse funksjonen til et hvilket som helst intervall (økende eller minkende).
For eksempel, for eksponentialfunksjonen y=ex, er den resiproke den naturlige logaritmiske funksjonen y=logea=lna. For trigonometri vil dette være funksjoner med prefikset arc-: y=sinx og y=arcsinx og så videre. Grafer vil bli plassert symmetrisk i forhold til noen akser eller asymptoter.
Konklusjoner
Søke etter rekkevidden av akseptable verdier kommer ned til å undersøke grafen over funksjoner (hvis det er en),registrere og løse det nødvendige spesifikke systemet med ulikheter.
Så denne artikkelen hjalp deg med å forstå hva omfanget av en funksjon er for og hvordan du finner det. Vi håper at det vil hjelpe deg å forstå grunnkurset på skolen godt.
