I matematikk og prosessering er konseptet med et analytisk signal (for kort - C, AC) en kompleks funksjon som ikke har negative frekvenskomponenter. De virkelige og imaginære delene av dette fenomenet er virkelige funksjoner knyttet til hverandre ved Hilbert-transformasjonen. Et analytisk signal er et ganske vanlig fenomen i kjemi, hvis essens er lik den matematiske definisjonen av dette konseptet.
Performances
Analytisk representasjon av en reell funksjon er et analytisk signal som inneholder den opprinnelige funksjonen og dens Hilbert-transformasjon. Denne representasjonen letter mange matematiske manipulasjoner. Hovedideen er at de negative frekvenskomponentene til Fourier-transformasjonen (eller spekteret) til en reell funksjon er overflødige på grunn av den hermitiske symmetrien til et slikt spektrum. Disse negative frekvenskomponentene kan kasseres utentap av informasjon, forutsatt at du ønsker å håndtere en kompleks funksjon i stedet. Dette gjør visse funksjonsattributter mer tilgjengelige og gjør det lettere å utlede modulasjons- og demodulasjonsteknikker som SSB.
Negative komponenter
Så lenge funksjonen som manipuleres ikke har noen negative frekvenskomponenter (dvs. den fortsatt er analytisk), er konvertering fra kompleks tilbake til virkelig et spørsmål om å forkaste den imaginære delen. Den analytiske representasjonen er en generalisering av konseptet med en vektor: mens en vektor er begrenset til en tidsinvariant amplitude, fase og frekvens, tillater en kvalitativ analyse av et analytisk signal tidsvarierende parametere.
Øyeblikkelig amplitude, øyeblikkelig fase og frekvens brukes i noen applikasjoner for å måle og oppdage lokale trekk ved C. En annen anvendelse av den analytiske representasjonen er knyttet til demodulering av modulerte signaler. Polare koordinater skiller enkelt effektene av AM- og fase- (eller frekvens-) modulasjon og demodulerer effektivt visse typer.
Da kan et enkelt lavpassfilter med reelle koeffisienter kutte av interessen. Et annet motiv er å senke maksimumsfrekvensen, noe som senker minimumsfrekvensen for sampling uten alias. Frekvensskiftet undergraver ikke den matematiske nytten av representasjonen. I denne forstand er nedkonvertert derfor fortsatt analytisk. Men restaureringen av den virkelige representasjonener ikke lenger et enkelt spørsmål om å bare trekke ut den virkelige komponenten. Oppkonvertering kan være nødvendig, og hvis signalet er samplet (diskret tid), kan interpolering (oppsampling) også være nødvendig for å unngå aliasing.
Variables
Konseptet er godt definert for enkeltvariable fenomener, som vanligvis er midlertidige. Denne midlertidigheten forvirrer mange begynnende matematikere. For to eller flere variabler kan analytisk C defineres på forskjellige måter, og to tilnærminger er presentert nedenfor.
De virkelige og imaginære delene av dette fenomenet tilsvarer to elementer i et vektor-verdi monogent signal, som definert for lignende fenomener med én variabel. Imidlertid kan monogen utvides til et vilkårlig antall variabler på en enkel måte, og skaper en (n + 1)-dimensjonal vektorfunksjon for tilfellet med n-variable signaler.
Signalkonvertering
Du kan konvertere et reelt signal til et analytisk ved å legge til en imaginær (Q)-komponent, som er Hilbert-transformasjonen av den reelle komponenten.
Forresten, dette er ikke nytt for den digitale behandlingen. En av de tradisjonelle måtene å generere enkelt sidebånd (SSB) AM, fasemetoden, innebærer å lage signaler ved å generere en Hilbert-transformasjon av et lydsignal i et analogt motstand-kondensatornettverk. Siden den kun har positive frekvenser, er det lett å konvertere den til et modulert RF-signal med kun ett sidebånd.
Definisjonsformler
Analytisk signaluttrykk er en holomorf kompleks funksjon definert på grensen til det øvre komplekse halvplanet. Grensen til det øvre halvplanet faller sammen med det tilfeldige, så C er gitt av kartleggingen fa: R → C. Siden midten av forrige århundre, da Denis Gabor i 1946 foreslo å bruke dette fenomenet til å studere konstant amplitude og fase, har signalet funnet mange applikasjoner. Det særegne ved dette fenomenet ble understreket [Vak96], hvor det ble vist at kun en kvalitativ analyse av det analytiske signalet tilsvarer de fysiske betingelsene for amplitude, fase og frekvens.
Siste prestasjoner
I løpet av de siste tiårene har det vært en interesse for studiet av signal i mange dimensjoner, motivert av problemer som oppstår i felt som spenner fra bilde-/videobehandling til flerdimensjonale oscillerende prosesser i fysikk, som seismikk, elektromagnetisk og gravitasjonsbølger. Det har generelt vært akseptert at for å kunne generalisere analytisk C (kvalitativ analyse) korrekt til tilfellet med flere dimensjoner, må man stole på en algebraisk konstruksjon som utvider de vanlige komplekse tallene på en praktisk måte. Slike konstruksjoner kalles vanligvis hyperkomplekse tall [SKE].
Til slutt bør det være mulig å konstruere et hyperkomplekst analytisk signal fh: Rd → S, hvor et generelt hyperkomplekst algebraisk system er representert, som naturlig nok utvider alle nødvendige egenskaper for å oppnå en øyeblikkelig amplitude ogfase.
Studie
En rekke artikler er viet ulike problemstillinger knyttet til riktig valg av det hyperkomplekse tallsystemet, definisjonen av den hyperkomplekse Fourier-transformen og brøkdeler av Hilbert-transformer for å studere den momentane amplituden og fasen. Det meste av dette arbeidet var basert på egenskapene til forskjellige rom som Cd, quaternions, Clearon-algebraer og Cayley-Dixon-konstruksjoner.
Deretter vil vi bare liste noen av arbeidene viet til studiet av signalet i mange dimensjoner. Så vidt vi vet, ble de første arbeidene med den multivariate metoden oppnådd på begynnelsen av 1990-tallet. Disse inkluderer Ells arbeid [Ell92] om hyperkomplekse transformasjoner; Bulows arbeid med generalisering av metoden for analytisk reaksjon (analytisk signal) til mange målinger [BS01] og arbeidet til Felsberg og Sommer om monogene signaler.
Ytterligere prospekter
Det hyperkomplekse signalet forventes å utvide alle de nyttige egenskapene vi har i 1D-tilfellet. Først av alt må vi kunne trekke ut og generalisere den momentane amplituden og fasen til målingene. For det andre opprettholdes Fourier-spekteret til et komplekst analytisk signal bare ved positive frekvenser, så vi forventer at den hyperkomplekse Fourier-transformasjonen har sitt eget hypervurderte spektrum, som bare vil opprettholdes i en positiv kvadrant av det hyperkomplekse rommet. Fordi det er veldig viktig.
For det tredje, konjuger deler av et komplekst konseptav det analytiske signalet er relatert til Hilbert-transformasjonen, og vi kan forvente at de konjugerte komponentene i det hyperkomplekse rommet også må være relatert til en kombinasjon av Hilbert-transformasjonene. Og til slutt, faktisk, et hyperkomplekst signal må defineres som en utvidelse av en hyperkompleks holomorf funksjon av flere hyperkomplekse variabler definert på grensen til en eller annen form i et hyperkomplekst rom.
Vi tar opp disse problemene i sekvensiell rekkefølge. Først og fremst starter vi med å se på Fourier-integralformelen og viser at Hilbert-transformasjonen til 1-D er relatert til den modifiserte Fourier-integralformelen. Dette faktum tillater oss å definere øyeblikkelig amplitude, fase og frekvens uten noen referanse til hyperkomplekse tallsystemer og holomorfe funksjoner.
Endring av integraler
Vi fortsetter med å utvide den modifiserte Fourier-integralformelen til flere dimensjoner, og bestemmer alle nødvendige faseforskyvede komponenter som vi kan samle inn i øyeblikkelig amplitude og fase. For det andre vender vi oss til spørsmålet om eksistensen av holomorfe funksjoner av flere hyperkomplekse variabler. Etter [Sch93] viser det seg at den kommutative og assosiative hyperkomplekse algebraen generert av et sett med elliptiske (e2i=−1) generatorer er et passende rom for et hyperkomplekst analytisk signal å leve, vi kaller en slik hyperkompleks algebra for Schaefers-rommet og betegner denSd.
Derfor er hyperkomplekset av analytiske signaler definert som en holomorf funksjon på grensen til polydisken / øvre halvdel av planet i et eller annet hyperkomplekst rom, som vi kaller det generelle Schaefers-rommet, og betegnet med Sd. Vi observerer deretter gyldigheten av Cauchy-integralformelen for funksjonene Sd → Sd, som beregnes over en hyperoverflate inne i en polydisk i Sd og utleder de tilsvarende brøkdeler Hilbert-transformasjonene som relaterer de hyperkomplekse konjugatkomponentene. Til slutt viser det seg at Fourier-transformasjonen med verdier i Schaefers-rommet kun støttes ved ikke-negative frekvenser. Takket være denne artikkelen har du lært hva som er et analytisk signal.
