Sannsynligvis er begrepet et derivat kjent for hver enkelt av oss siden skolen. Vanligvis har elevene problemer med å forstå denne, uten tvil, veldig viktige tingen. Det brukes aktivt i forskjellige områder av folks liv, og mange ingeniørutviklinger var basert nøyaktig på matematiske beregninger oppnådd ved hjelp av den deriverte. Men før vi går videre til analysen av hva deriverte av tall er, hvordan de beregnes og hvor de er nyttige for oss, la oss stupe inn i historien.
Historie
Konseptet med den deriverte, som er grunnlaget for matematisk analyse, ble oppdaget (det ville være bedre å si "oppfunnet", fordi det ikke fantes i naturen som sådan) av Isaac Newton, som vi alle kjenner fra oppdagelsen av loven om universell gravitasjon. Det var han som først brukte dette konseptet i fysikk for å knytte sammen naturen til kroppens hastighet og akselerasjon. Og mange forskere roser fortsatt Newton for denne fantastiske oppfinnelsen, fordi han faktisk oppfant grunnlaget for differensial- og integralregning, faktisk grunnlaget for et helt område av matematikk k alt "kalkulus". Hvis på den tiden Nobelprisen, ville Newton ha mottatt den med stor sannsynlighet flere ganger.
Ikke uten andre gode hoder. Bortsett fra Newtonså eminente matematiske genier som Leonhard Euler, Louis Lagrange og Gottfried Leibniz arbeidet med utviklingen av derivatet og integralet. Det er takket være dem at vi har mottatt teorien om differensialregning i den formen den eksisterer i til i dag. Det var forresten Leibniz som oppdaget den geometriske betydningen av den deriverte, som viste seg å ikke være noe mer enn tangenten til hellingen til tangenten til grafen til funksjonen.
Hva er deriverte av tall? La oss gjenta litt det vi gikk gjennom på skolen.
Hva er et derivat?
Dette konseptet kan defineres på flere forskjellige måter. Den enkleste forklaringen er at den deriverte er endringshastigheten til funksjonen. Se for deg en graf for en funksjon y av x. Hvis den ikke er rett, så har den noen kurver i grafen, perioder med økning og nedgang. Hvis vi tar et uendelig lite intervall av denne grafen, vil det være et rett linjesegment. Så forholdet mellom størrelsen på dette uendelig lille segmentet langs y-koordinaten og størrelsen langs x-koordinaten vil være den deriverte av denne funksjonen ved et gitt punkt. Hvis vi vurderer funksjonen som en helhet, og ikke på et bestemt punkt, vil vi få en derivert funksjon, det vil si en viss avhengighet av y av x.
I tillegg til den fysiske betydningen av den deriverte som endringshastigheten til en funksjon, er det også en geometrisk betydning. Vi skal snakke om ham nå.
Geometrisk sans
Derivertene av tall i seg selv representerer et visst tall som, uten riktig forståelse, ikke bærerikke noe poeng. Det viser seg at den deriverte ikke bare viser vekst eller reduksjon av funksjonen, men også tangenten til hellingen til tangenten til grafen til funksjonen ved et gitt punkt. Ikke en veldig klar definisjon. La oss analysere det mer detaljert. La oss si at vi har en graf av en funksjon (for interesse, la oss ta en kurve). Den har et uendelig antall poeng, men det er områder der bare ett enkelt punkt har et maksimum eller minimum. Gjennom et slikt punkt er det mulig å tegne en linje som vil være vinkelrett på grafen til funksjonen på det punktet. En slik linje vil bli k alt en tangent. La oss si at vi brukte det til skjæringspunktet med OX-aksen. Så vinkelen oppnådd mellom tangenten og OX-aksen vil bli bestemt av den deriverte. Mer presist vil tangensen til denne vinkelen være lik den.
La oss snakke litt om spesielle tilfeller og analysere deriverte av tall.
Spesialsaker
Som vi allerede har sagt, er deriverte av tall verdiene til den deriverte på et bestemt punkt. La oss for eksempel ta funksjonen y=x2. Den deriverte x er et tall, og i det generelle tilfellet en funksjon lik 2x. Hvis vi trenger å beregne den deriverte, for eksempel ved punktet x0=1, får vi y'(1)=21=2. Alt er veldig enkelt. Et interessant tilfelle er den deriverte av et komplekst tall. Vi skal ikke gå inn på en detaljert forklaring på hva et komplekst tall er. La oss bare si at dette er et tall som inneholder den såk alte imaginære enheten – et tall hvis kvadrat er -1. Beregningen av et slikt derivat er bare mulig hvis følgendevilkår:
1) Det må være førsteordens partielle deriverte av de reelle og imaginære delene med hensyn til Y og X.
2) Cauchy-Riemann-betingelsene knyttet til likheten av partielle derivater beskrevet i første ledd er oppfylt.
Et annet interessant tilfelle, selv om det ikke er så komplisert som det forrige, er den deriverte av et negativt tall. Faktisk kan ethvert negativt tall representeres som et positivt tall multiplisert med -1. Vel, den deriverte av konstanten og funksjonen er lik konstanten multiplisert med den deriverte av funksjonen.
Det skal bli interessant å lære om rollen til den deriverte i hverdagen, og det er dette vi skal diskutere nå.
Application
Sannsynligvis tar hver av oss minst en gang i livet seg selv i å tenke at matematikk neppe vil være nyttig for ham. Og en så komplisert ting som et derivat har sannsynligvis ingen anvendelse i det hele tatt. Faktisk er matematikk en grunnleggende vitenskap, og alle fruktene er utviklet hovedsakelig av fysikk, kjemi, astronomi og til og med økonomi. Den deriverte var begynnelsen på matematisk analyse, som ga oss muligheten til å trekke konklusjoner fra grafene til funksjoner, og vi lærte å tolke naturlovene og gjøre dem til vår fordel takket være det.
Konklusjon
Selvfølgelig trenger ikke alle et derivat i det virkelige liv. Men matematikk utvikler logikk, som absolutt vil være nødvendig. Det er ikke for ingenting at matematikk kalles vitenskapens dronning: den danner grunnlaget for å forstå andre kunnskapsområder.
