For å forstå hva ytterpunktene til en funksjon er, er det slett ikke nødvendig å vite om tilstedeværelsen av første- og andrederivertene og forstå deres fysiske betydning. Først må du forstå følgende:
- funksjon ekstrema maksimere eller omvendt minimer verdien av funksjonen i et vilkårlig lite nabolag;
- Det skal ikke være et funksjonsbrudd ved ytterpunktet.
Og nå det samme, bare i klartekst. Se på spissen av en kulepenn. Hvis pennen plasseres vertik alt, med skriften ende opp, vil selve midten av ballen være ytterpunktet - det høyeste punktet. I dette tilfellet snakker vi om maksimum. Nå, hvis du snur pennen med skriveenden ned, vil det allerede være et minimum av funksjonen på midten av ballen. Ved hjelp av figuren som er gitt her, kan du forestille deg de listede manipulasjonene for en skrivepapirblyant. Så ytterpunktene til en funksjon er alltid kritiske punkter: dens maksima eller minima. Den tilstøtende delen av diagrammet kan være vilkårlig skarp eller jevn, men den må eksistere på begge sider, bare i dette tilfellet er punktet et ekstremum. Hvis diagrammet bare finnes på den ene siden, vil ikke dette punktet være et ekstremum selv om det er på den ene sidenekstreme betingelser er oppfylt. La oss nå studere ekstrema av funksjonen fra et vitenskapelig synspunkt. For at et punkt skal anses som et ekstremum, er det nødvendig og tilstrekkelig at:
- den første deriverte var lik null eller eksisterte ikke på punktet;
- den første deriverte endret fortegn på dette tidspunktet.
Betingelsen tolkes noe forskjellig fra synspunktet til høyere-ordens deriverte: for en funksjon som er differensierbar i et punkt, er det tilstrekkelig at det er en oddetallsderivert som ikke er lik null, mens alle lavere ordens derivater må eksistere og være lik null. Dette er den enkleste tolkningen av teoremer fra lærebøker i høyere matematikk. Men for de mest vanlige mennesker er det verdt å forklare dette punktet med et eksempel. Grunnlaget er en vanlig parabel. Gjør en reservasjon umiddelbart, ved nullpunktet har den et minimum. Bare litt matematikk:
- første deriverte (X2)|=2X, for nullpunkt 2X=0;
- second derivative (2X)|=2, for nullpunkt 2=2.
Dette er en enkel illustrasjon av forholdene som bestemmer funksjonens ekstremum både for førsteordens deriverte og for høyereordens deriverte. Vi kan legge til dette at den andre deriverte er akkurat den samme deriverte av en oddetall, ulik null, som ble diskutert litt høyere. Når det gjelder ekstrema av en funksjon av to variabler, må betingelsene være oppfylt for begge argumentene. Nårgeneralisering skjer, deretter brukes partielle derivater. Det vil si at det er nødvendig for tilstedeværelsen av et ekstremum på et punkt hvor begge førsteordens derivater er lik null, eller at minst en av dem ikke eksisterer. For tilstrekkeligheten av tilstedeværelsen av et ekstremum undersøkes et uttrykk, som er forskjellen mellom produktet av andreordens deriverte og kvadratet av den blandede andreordens deriverte av funksjonen. Hvis dette uttrykket er større enn null, er det et ekstremum, og hvis det er null, forblir spørsmålet åpent, og ytterligere forskning er nødvendig.
