Den deriverte av cosinus finnes i analogi med den deriverte av sinus, grunnlaget for beviset er definisjonen av grensen for funksjonen. Du kan bruke en annen metode ved å bruke de trigonometriske reduksjonsformlene for cosinus og sinus til vinkler. Uttrykk en funksjon i form av en annen - cosinus i form av sinus, og differensier sinusen med et komplekst argument.
Vurder det første eksemplet på å utlede formelen (Cos(x))'
Gi en ubetydelig liten økning Δx til argumentet x til funksjonen y=Cos(x). Med en ny verdi av argumentet х+Δх, får vi en ny verdi av funksjonen Cos(х+Δх). Da vil funksjonsøkningen Δy være lik Cos(х+Δx)-Cos(x).
Forholdet mellom funksjonsveksten til Δх vil være: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δх. La oss utføre identiske transformasjoner i telleren til den resulterende brøken. Husk formelen for forskjellen i cosinusene til vinklene, resultatet vil være produktet -2Sin (Δx / 2) ganger Sin (x + Δx / 2). Vi finner grensen for kvotientgrensen til dette produktet på Δx da Δx har en tendens til null. Det er kjent at den første(det kalles fantastisk) grensen lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) er lik 1, og grensen -Sin(x+Δx/2) er lik -Sin(x) som Δx har en tendens til null. Skriv ned resultatet: den deriverte av (Cos(x))' er lik - Sin(x).
Noen mennesker foretrekker den andre måten å utlede den samme formelen
Det er kjent fra trigonometriens forløp: Cos(x) er lik Sin(0, 5 µ-x), på samme måte er Sin(x) lik Cos(0, 5 µ-x). Deretter differensierer vi en kompleks funksjon - sinusen til tilleggsvinkelen (i stedet for cosinus x).
Vi får produktet Cos(0, 5 ∏-x) (0, 5 ∏-x)', fordi den deriverte av sinus x er lik cosinus X. Vi går til den andre formelen Sin(x)=Cos(0,5 µ-x) for å erstatte cosinus med sinus, og tar i betraktning at (0,5 µ-x)'=-1. Nå får vi -Sin(x). Så, den deriverte av cosinus er funnet, y'=-Sin(x) for funksjonen y=Cos(x).
Squared cosinus-derivat
Et ofte brukt eksempel der cosinusderivatet brukes. Funksjonen y=Cos2(x) er vanskelig. Vi finner først differensialen til potensfunksjonen med eksponent 2, den blir 2·Cos(x), deretter multipliserer vi den med den deriverte (Cos(x))', som er lik -Sin(x). Vi får y'=-2 Cos(x) Sin(x). Når vi bruker formelen Sin(2x), sinusen til en dobbel vinkel, får vi den endelige forenkledesvar y'=-Sin(2x)
Hyperbolske funksjoner
De brukes i studiet av mange tekniske disipliner: i matematikk, for eksempel, letter de beregningen av integraler, løsningen av differensialligninger. De uttrykkes i form av trigonometriske funksjoner med imaginæreargumentet, så den hyperbolske cosinus ch(x)=Cos(i x), der i er den imaginære enheten, den hyperbolske sinus sh(x)=Sin(i x).
Den deriverte av den hyperbolske cosinus beregnes ganske enkelt.
Tenk på funksjonen y=(ex+e-x) /2, dette og er den hyperbolske cosinus ch(x). Vi bruker regelen for å finne den deriverte av summen av to uttrykk, regelen for å ta konstantfaktoren (Const) ut av tegnet til den deriverte. Det andre leddet 0,5 e-x er en kompleks funksjon (deriverten er -0,5 e-x), 0,5 eх – første termin. (ch(x)) '=((ex+e-x)/2)' kan skrives på en annen måte: (0, 5 ex+0, 5 e-x)'=0, 5 e x-0, 5 e-x, fordi den deriverte (e - x)' er lik -1 ganger e-x. Resultatet er en forskjell, og dette er den hyperbolske sinus sh(x).Output: (ch(x))'=sh(x).
La oss se på et eksempel på hvordan beregne den deriverte av funksjonen y=ch(x
3+1).I henhold til den hyperbolske cosinusdifferensieringsregelen med komplekst argument y'=sh(x
3+1) (x 3+1)', hvor (x3+1)'=3 x 2+0. Svar: den deriverte av denne funksjonen er 3 x
2sh(x3+1).
Tabulære deriverte av de betraktede funksjonene y=ch(x) og y=Cos(x)
Når du løser eksempler, er det ikke nødvendig å skille dem hver gang i henhold til den foreslåtte ordningen, det er nok å bruke slutningen.
Eksempel. Differensieer funksjonen y=Cos(x)+Cos2(-x)-Ch(5 x). Enkel å beregne (bruk tabelldata), y'=-Sin(x) +Sin(2 x)-5 Sh(5 x).
