Vi studerte alle aritmetiske kvadratrøtter i algebraklassen på skolen. Det hender at hvis kunnskapen ikke friskes opp, så blir den fort glemt, det samme med røttene. Denne artikkelen vil være nyttig for åttendeklassinger som ønsker å friske opp kunnskapen sin på dette området, og andre skoleelever, fordi vi jobber med røtter i 9., 10. og 11. klasse.
Historie for rot og grad
Selv i eldgamle tider, og spesifikt i det gamle Egypt, trengte folk grader for å utføre operasjoner på tall. Da det ikke fantes et slikt konsept, skrev egypterne ned produktet av det samme tallet tjue ganger. Men snart ble en løsning på problemet oppfunnet - antallet ganger tallet må multipliseres med seg selv begynte å bli skrevet i øvre høyre hjørne over det, og denne formen for opptak har overlevd til i dag.
Og historien til kvadratroten begynte for rundt 500 år siden. Det ble betegnet på forskjellige måter, og først på 1600-tallet introduserte Rene Descartes et slikt tegn, som vi bruker den dag i dag.
Hva er en kvadratrot
La oss starte med å forklare hva en kvadratrot er. Kvadratroten av et tall c er et ikke-negativt tall som, når det kvadreres, vil være lik c. I dette tilfellet er c større enn eller lik null.
For å bringe et tall under roten, kvadrerer vi det og setter rottegnet over det:
32=9, 3=√9
Vi kan heller ikke få verdien av kvadratroten av et negativt tall, siden ethvert tall i et kvadrat er positivt, det vil si:
c2 ≧ 0, hvis √c er et negativt tall, så c2 < 0 - i strid med regelen.
For raskt å beregne kvadratrøtter, må du kjenne til tabellen med kvadrater av tall.
Properties
La oss vurdere de algebraiske egenskapene til kvadratroten.
1) For å trekke ut kvadratroten av produktet, må du ta roten av hver faktor. Det vil si at det kan skrives som produktet av røttene til faktorer:
√ac=√a × √c, for eksempel:
√36=√4 × √9
2) Når du trekker ut en rot fra en brøk, er det nødvendig å trekke ut roten separat fra telleren og nevneren, det vil si skrive den som en kvotient av røttene deres.
3) Verdien oppnådd ved å ta kvadratroten av et tall er alltid lik modulen til dette tallet, siden modulen bare kan være positiv:
√с2=∣с∣, ∣с∣ > 0.
4) For å heve en rot til enhver makt, hever vi til denradik alt uttrykk:
(√с)4=√с4, for eksempel:
(√2)6 =√26=√64=8
5) Kvadraten av den aritmetiske roten av c er lik dette tallet:
(√s)2=s.
Røtter til irrasjonelle tall
La oss si at roten av seksten er enkel, men hvordan tar jeg roten av tall som 7, 10, 11?
Et tall hvis rot er en uendelig ikke-periodisk brøk kalles irrasjonelt. Vi kan ikke trekke ut roten fra den på egen hånd. Vi kan bare sammenligne det med andre tall. Ta for eksempel roten av 5 og sammenlign den med √4 og √9. Det er tydelig at √4 < √5 < √9, deretter 2 < √5 < 3. Dette betyr at verdien av roten av fem er et sted mellom to og tre, men det er mange desimalbrøker mellom dem, og å plukke hver av dem er en tvilsom måte å finne roten på.
Du kan gjøre denne operasjonen på en kalkulator - dette er den enkleste og raskeste måten, men i 8. klasse vil du aldri bli pålagt å trekke ut irrasjonelle tall fra den aritmetiske kvadratroten. Du trenger bare å huske de omtrentlige verdiene av roten av to og roten av tre:
√2 ≈ 1, 4, √3 ≈ 1, 7.
Eksempler
Nå, basert på egenskapene til kvadratroten, skal vi løse flere eksempler:
1) √172 - 82
Husk formelen for forskjellen mellom kvadrater:
√(17-8) (17+8)=√9 ×25
Vi kjenner egenskapen til den aritmetiske kvadratroten - for å trekke ut roten fra produktet, må du trekke den ut fra hver faktor:
√9 × √25=3 × 5=15
2) √3 (2√3 + √12)=2 (√3)2 + √36
Bruk en annen egenskap av roten - kvadratet av den aritmetiske roten av et tall er lik dette tallet selv:
2 × 3 + 6=12
Viktig! Ofte, når elevene begynner å arbeide og løse eksempler med aritmetiske kvadratrøtter, gjør elevene følgende feil:
√12 + 3=√12 + √3 - det kan du ikke gjøre!
Vi kan ikke ta roten til hvert begrep. Det er ingen slik regel, men den forveksles med å ta roten til hver faktor. Hvis vi hadde denne oppføringen:
√12 × 3, da ville det være rimelig å skrive √12 × 3=√12 × √3.
Og så kan vi bare skrive:
√12 + 3=√15
