Hva er irrasjonelle tall? Hvorfor heter de det? Hvor brukes de og hva er de? Få kan svare på disse spørsmålene uten å nøle. Men faktisk er svarene på dem ganske enkle, selv om ikke alle trenger dem og i svært sjeldne situasjoner
essens og betegnelse
Irrasjonelle tall er uendelige ikke-periodiske desimalbrøker. Behovet for å introdusere dette konseptet skyldes det faktum at de tidligere eksisterende konseptene med reelle eller reelle, heltall, naturlige og rasjonelle tall ikke lenger var nok til å løse nye nye problemer. For eksempel, for å beregne hva kvadratet av 2 er, må du bruke engangs uendelige desimaler. I tillegg har mange av de enkleste ligningene heller ingen løsning uten å introdusere konseptet med et irrasjonelt tall.
Dette settet er betegnet som I. Og, som allerede er klart, kan disse verdiene ikke representeres som en enkel brøk, i telleren som det vil være et heltall av, og i nevneren - et naturlig tall.
For første gang noensinneellers møtte indiske matematikere dette fenomenet på 700-tallet f. Kr., da det ble oppdaget at kvadratrøttene til noen størrelser ikke kunne angis eksplisitt. Og det første beviset på eksistensen av slike tall tilskrives Pythagoras Hippasus, som gjorde dette i prosessen med å studere en likebenet rettvinklet trekant. Et seriøst bidrag til studiet av dette settet ble gitt av noen andre forskere som levde før vår tid. Innføringen av begrepet irrasjonelle tall innebar en revisjon av det eksisterende matematiske systemet, og det er derfor de er så viktige.
Opprinnelsen til navnet
Hvis ratio på latin betyr "brøk", "forhold", så gir prefikset "ir"
dette ordet motsatt betydning. Dermed indikerer navnet på settet med disse tallene at de ikke kan korreleres med et heltall eller brøk, de har et eget sted. Dette følger av deres essens.
Plassering i totalklassifiseringen
Irrasjonelle tall, sammen med rasjonelle tall, tilhører gruppen av reelle eller reelle tall, som igjen tilhører komplekse tall. Det er ingen undergrupper, men det er algebraiske og transcendentale varianter, som vil bli diskutert nedenfor.
Properties
Siden irrasjonelle tall er en del av settet av reelle tall, gjelder alle egenskapene deres som er studert i aritmetikk (de kalles også grunnleggende algebraiske lover).
a + b=b + a (kommutativitet);
(a + b) + c=a + (b + c)(assosiativitet);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (eksistensen av det motsatte tallet);
ab=ba (forskyvningslov);
(ab)c=a(bc) (fordelingsevne);
a(b+c)=ab + ac (fordelingslov);
a x 1=a
a x 1/a=1 (eksistensen av et inverst tall);
Sammenligning utføres også i samsvar med generelle lover og prinsipper:
Hvis a > b og b > c, så a > c (transitivitet av forholdet) og. osv.
Selvfølgelig kan alle irrasjonelle tall konverteres ved hjelp av grunnleggende aritmetikk. Det er ingen spesielle regler for dette.
I tillegg gjelder Arkimedes aksiom for irrasjonelle tall. Den sier at for alle to størrelser a og b, er påstanden sann at ved å ta a som begrep nok ganger, kan du overgå b.
Bruk
Til tross for at du ikke ofte trenger å forholde deg til dem i det vanlige livet, kan ikke irrasjonelle tall telles. Det er mange av dem, men de er nesten usynlige. Vi er omgitt av irrasjonelle tall over alt. Eksempler som er kjent for alle er tallet pi, lik 3, 1415926 …, eller e, som i hovedsak er grunnlaget for den naturlige logaritmen, 2, 718281828 … I algebra, trigonometri og geometri må de brukes konstant. Forresten, den berømte verdien av det "gyldne snittet", det vil si forholdet mellom både den større delen og den mindre, og omvendt, er også
tilhører dette settet. Mindre kjent "sølv" - også.
De er plassert veldig tett på talllinjen, så mellom to vilkårlige verdier relatert til settet med rasjonelle verdier vil det garantert forekomme en irrasjonell.
Det er fortsatt mange uløste problemer knyttet til dette settet. Det er slike kriterier som mål på irrasjonalitet og normaliteten til et tall. Matematikere fortsetter å undersøke de viktigste eksemplene for deres tilhørighet til en eller annen gruppe. For eksempel antas det at e er et norm alt tall, det vil si at sannsynligheten for at forskjellige sifre vises i posten er den samme. Når det gjelder pi, pågår det fortsatt forskning angående det. Et mål på irrasjonalitet kalles også en verdi som viser hvor godt dette eller det tallet kan tilnærmes med rasjonelle tall.
algebraisk og transcendental
Som allerede nevnt, er irrasjonelle tall betinget delt inn i algebraiske og transcendentale. Betinget, siden, strengt tatt, denne klassifiseringen brukes til å dele mengden C.
Denne betegnelsen skjuler komplekse tall, som inkluderer reelle eller reelle tall.
Så, en algebraisk verdi er en verdi som er en rot av et polynom som ikke er identisk lik null. For eksempel vil kvadratroten av 2 være i denne kategorien fordi det er løsningen på ligningen x2 - 2=0.
Alle andre reelle tall som ikke tilfredsstiller denne betingelsen kalles transcendentale. Til denne variantenta med de mest kjente og allerede nevnte eksemplene - tallet pi og basen til den naturlige logaritmen e.
Interessant nok ble verken det ene eller det andre opprinnelig utledet av matematikere i denne egenskapen, deres irrasjonalitet og transcendens ble bevist mange år etter oppdagelsen. For pi ble beviset gitt i 1882 og forenklet i 1894, noe som satte en stopper for den 2500 år lange kontroversen om problemet med å kvadrere sirkelen. Det er fortsatt ikke helt forstått, så moderne matematikere har noe å jobbe med. Forresten, den første tilstrekkelig nøyaktige beregningen av denne verdien ble utført av Archimedes. Før ham var alle beregninger for omtrentlige.
For e (Euler- eller Napier-tallene) ble bevis på transcendens funnet i 1873. Den brukes til å løse logaritmiske ligninger.
Andre eksempler inkluderer sinus-, cosinus- og tangensverdier for alle algebraiske verdier som ikke er null.
