Fremveksten av begrepet integral skyldtes behovet for å finne den antiderivative funksjonen ved hjelp av dens deriverte, samt å bestemme mengden arbeid, arealet av komplekse figurer, avstanden tilbakelagt, med parametere skissert av kurver beskrevet av ikke-lineære formler.
Fra kurs
og fysikken vet at arbeid er lik produktet av kraft og avstand. Hvis all bevegelse skjer med konstant hastighet eller avstanden overvinnes med bruk av samme kraft, er alt klart, du trenger bare å multiplisere dem. Hva er et integral av en konstant? Dette er en lineær funksjon av formen y=kx+c.
Men kraften under arbeidet kan endre seg, og i en slags naturlig avhengighet. Den samme situasjonen oppstår ved beregning av tilbakelagt distanse hvis hastigheten ikke er konstant.
Så det er klart hva integralet er til for. Dens definisjon som summen av produktene av funksjonsverdier med en uendelig økning av argumentet beskriver fullt ut hovedbetydningen av dette konseptet som arealet av en figur avgrenset ovenfra av funksjonens linje, og ved kantene ved definisjonens grenser.
Jean Gaston Darboux, fransk matematiker, i andre halvdel av XIXårhundre veldig tydelig forklart hva en integral er. Han gjorde det så klart at det generelt sett ikke ville være vanskelig selv for en ungdomsskoleelev å forstå dette problemet.
La oss si at det er en funksjon av en hvilken som helst kompleks form. Y-aksen, som verdiene til argumentet er plottet på, er delt inn i små intervaller, ideelt sett er de uendelig små, men siden begrepet uendelighet er ganske abstrakt, er det nok å forestille seg bare små segmenter, verdien hvorav vanligvis betegnes med den greske bokstaven Δ (delta).
Funksjonen viste seg å være "kuttet" i små klosser.
Hver argumentverdi tilsvarer et punkt på y-aksen, der de tilsvarende funksjonsverdiene er plottet. Men siden det valgte området har to grenser, vil det også være to verdier for funksjonen, flere og mindre.
Summen av produktene med større verdier med inkrementet Δ kalles den store Darboux-summen, og er betegnet som S. Følgelig vil de mindre verdiene i et begrenset område, multiplisert med Δ, alle sammen danner en liten Darboux-sum s. Seksjonen i seg selv ligner en rektangulær trapes, siden krumningen til funksjonslinjen med dens uendelige inkrement kan neglisjeres. Den enkleste måten å finne arealet til en slik geometrisk figur på er å legge til produktene av den større og mindre verdien av funksjonen med Δ-inkrementet og dele på to, det vil si å bestemme det som det aritmetiske gjennomsnittet.
Dette er hva Darboux-integralet er:
s=Σf(x) Δ er et lite beløp;
S=Σf(x+Δ)Δ er en stor sum.
Så hva er en integral? Området avgrenset av funksjonslinjen og definisjonsgrensene vil være:
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
Det vil si at det aritmetiske gjennomsnittet av store og små Darboux-summer.c er en konstant verdi som settes til null under differensiering.
Basert på det geometriske uttrykket til dette konseptet, blir den fysiske betydningen av integralet tydelig. Arealet av figuren, skissert av hastighetsfunksjonen, og begrenset av tidsintervallet langs abscisseaksen, vil være lengden på den tilbakelagte banen.
L=∫f(x)dx på intervallet fra t1 til t2, Where
f(x) – hastighetsfunksjon, det vil si formelen som den endres med over tid;
L – banelengde;
t1 – starttid;
t2 – sluttid for reisen.
Nøyaktig i henhold til samme prinsipp bestemmes arbeidsmengden, bare avstanden vil bli plottet langs abscissen, og mengden kraft som påføres på hvert bestemt punkt vil plottes langs ordinaten.
